離散型の場合(Discrete case)

確率変数$X$のとる値を $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$とし，各事象 $(X = x_{i})$の確率を $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$とするとき，

$$P(X = x_{i}) = p_{i} \ (i = 1,2,\ldots, n) \ \ \sum{p_{i}} = 1, (p_{i} \geq 0)$$

で表される．これより，$X$の確率分布$f$は

Xの値 $x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$
$P(X = x_{i}) = p_{i} = f(x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$

また，確率変数$X$のとる値を $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$とするとき，その分布関数$F(x_{r})$は次のように求められる．

$$F(x_{r}) = P(X \leq x_{r}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = \sum_{i=1}^{r}p_{i}$$

確率分布$f$と分布関数$F$は次の性質をもつ．

1. $0 \leq p_{i} = f(x_{i}) \leq 1 \ (i = 1,2,\ldots, n)$
2. $F(x_{n}) = P(X \leq x_{n}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1$
3. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
4. $a < b$ $\Longrightarrow$ $F(a) < F(b)$

平均と分散

確率変数$X$の平均(期待値)と分散は次の式で定義されます．

$$\mu = E(X) = \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i}$$

$$\sigma^2 = V(X) = E\left((X- \mu)^2\right) =E(X^2) - E(X)^2$$

例題 2..2  

$E(X) = \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i},\ E(Y) = \sum_{j=1}^{l}y_{j}q_{j}$のとき，

$$E(X + Y ) = E(X) + E(Y)$$

が成り立つことを示そう．

解答 $P(X = x_{i}, Y = y_{j})$を$p_{ij}$で表すと

$$\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{l}p_{ij} = p_{i}\hskip 3cm \s... ...1}^{l}p_{ij} = \sum_{i=1}^{k}p_{i} = \sum_{j=1}^{l}q_{j} = 1 \end{array}\right.$$

これより，

$$E(X + Y) = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(x_{i} + y_{j})p_{ij}$$

$$= \sum_{i=1}^{k}(x_{i}\sum_{j=1}^{l}p_{ij}) + \sum_{j=1}^{l}(y_{j}\sum_{i=1}^{k}p_{ij})$$

$$= \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i} + \sum_{j=1}^{l}y_{j}q_{j} = E(X) + E(Y)$$

例題 2..3  

$E((X - \mu)^2) = E(X^2) - (E(X))^2$が成り立つことを示そう．

解答

$$E((X - \mu)^2) = E(X^2 - 2X\mu + \mu^2)$$

$$= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 E(1)$$

$$= E(X^2) - 2E(X)E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - E(X)^2$$