連続型の場合(Continuous case)

確率密度関数

連続変量の確率分布において，任意の定数 $a,b \ (a < b)$に対して，確率
$P_{r}(a \leq X \leq b)$が

$$P_{r}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

で与えられるような連続関数$f(x)$が $(-\infty,\infty)$で存在するとき，この$f(x)$を，この確率分布の確率密度関数(probability density function)といいます．また，確率密度関数は次の性質を持っています．

$$f(x) \geq 0$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

確率分布

確率変数$X$が区間 $-\infty < X \leq x$にある確率が

$$F(x) = P_{r}(X \leq x)$$

で定められる関数$F(x)$を，確率変数$X$の確率分布(probability distribution)といいます．

平均と分散

確率変数$X$の平均(期待値)と分散は次の式で定義されます．

$$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx$$

$$\sigma^2 = V(X) = E\left((X- \mu)^2\right) = \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2 f(x) dx$$

正規分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} EXP\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right], \ -\infty < x < \infty$$

で与えられるとき，確率変数$X$は正規分布に従うといい， $X \sim N(\mu, \sigma^2)$と表わします．

$X \sim N(3, 2^{2})$を表すと，次のようになります．

このままでは，比較しにくいので，標準化(normalization)を行ないます．

標準化

確率変数$X$の平均$E(X)$を0に，分散$V(X)$を1に直すことを標準化といいます．

標準化の方法

$$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$$

とおくと

$$E(Z) = 0, \ V(Z) = 1$$

になります．

$P_{r}(Z \leq z)$を求めるには， $P_{r}(Z \leq z) = P_{r}(Z \leq 0) + P_{r}(0 < Z \leq z)$を求めます． $P_{r}(Z \leq 0)$は標準正規分布の左半分なので，その値は0.5となります． $P_{r}(0 < Z \leq z)$の値は標準正規分布表を用いて求めます．

図 2.1: 正規分布

例題 2..4  

$X \sim N(60.9, 2.9^2)$のとき，
(1) $P(X \leq 63.8)$を求めよ
(2) $P(62.3 < X \leq 63.0)$を求めよ．

解答
(1) 標準化を行うと，

$$P(X \leq 63.8) = P(\frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.8 - 60.9}{2.9})$$

$$= P(Z \leq \frac{2.9}{2.9}) = P(Z \leq 1)$$

$$= P(Z \leq 0) + P(0 \leq Z \leq 1) = 0.5 + 0.3413 = 0.8413$$

(2)

$$P(\frac{62.3-60.9}{2.9} < \frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.0 - 60.9}{2.9})$$

$$= P(\frac{1.4}{2.9} < Z \leq \frac{2.1}{2.9}$$

$$= P(0.48 < Z \leq 0.72)$$

$$= P(0 \leq Z \leq 0.72) - P(0 \leq Z \leq 0.48)$$

$$= 0.2642 - 0.1844 = 0.0798$$

統計学演習問題 4

1. $X \sim N(80,6^2)$のとき，次の確率を求めよ．

(a) $P_{r}(X \leq 90)$

(b) $P_{r}(\vert X - 80\vert \leq 12)$

2. 都市Aの夏期を除く各期の一人一日当たりの水需要量は，これまでの何年かの実績からほぼ $N(210,21^2)$に従うことが分かっているとする．今年の一人当たりの水需要量(夏期を除く)が250(l/人)以上になる確率を求めよ．