標本抽出
日本の小学6年生をとし,小学6年生の各人の身長を
とすると,母集団は
と表せます.この母集団から取り出した
個の要素の組
を大きさ
の標本といいます.このとき,個々の
は
と同じ分布をする確率変数
が実現した数値でなければなりません.そこで,確率変数の組
を大きさ
の確率標本変数といいます.
確率標本変数
に要求される数学的条件は,各
が母集団
の
と同じ分布をする独立な確率変数であることです.では,実際に標本を選ぶときには,どのようにしたらよいのでしょうか.それには,個々の標本が全く偶然に,つまり同じ確率で現れるように選ばれる必要があります.例えば,6人から1人を選ぶには,正しいサイコロを振って決めるとか,52人から2人を選ぶとき,トランプのカードに各人を対応させて,よく切ったあと2枚を選ぶなどがあります.このようにして,標本を選ぶことを無作為抽出またはランダム抽出といいます.そして,このようにして選ばれた標本を確率標本といいます.
この母集団から無作為に抽出された標本を
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標本平均の分散と標準偏差を求めよう.
解答
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確率変数の平均値を
,標準偏差を
とすると,定数
に対して
母平均, 母分散
の母集団
がある.ここから抽出した大きさ
の標本平均を
とする.いま
と
との差が標準偏差
の
より小さい確率を
以上にしたい.
をいくらにとればよいか.
解答 題意を式で表すと
統計的推定
母集団から無作為に抽出された標本
点推定
点推定は母数を1個の数値で定めようとする方法のことです.全数調査ができれば,母集団の母数は簡単に求めることができます.しかし,大事なことは,全数調査ができないときに,標本を通して母数の情報を得ることです.
母数をとし,これに対し大きさ
の標本変量
の統計量
を考えます.この関数に抽出された標本値
を代入した値
でもって,
の値であると推定することを,
の点推定という.
不偏推定量
ある推定値
について,
母集団
において,次の統計量は不偏推定量である.
は不偏推定量であることを示そう.
解
より,
しかし,母分散
を推定するには,不偏性とは異なる立場をとると,
よりも標本分散