検定に用いる統計量(Test statistic)

母平均の検定

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従っていて，母分散$\sigma^2$が既知の場合

$$Z = \frac{{\bar X} - \mu }{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \sim N(0,1)$$

母集団が正規分布に従っていて $N(\mu,\sigma^2)$，母分散$\sigma^2$が未知の場合．母分散$\sigma^2$の不偏推定量 $S^{\prime^2}$を用いる

$$T = \frac{{\bar X} - \mu }{\sqrt{{S^{\prime}}^{2}/n}} \sim t(n-1)$$

母分散の検定

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従っていて，母平均$\mu$が既知の場合

$$\chi^2 = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \mu)^{2} \sim \chi^{2}(n)$$

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従っていて，母平均$\mu$が未知の場合

$$\chi^2 = \frac{n S^2}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1)$$

母平均の差の検定

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$, $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$に従っていて，母分散 $\sigma_{1}^2, \sigma_{2}$が既知の場合

$$Z = \frac{({\bar X} - {\bar Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1} + \sigma_{2}^{2}/n_{2}}} \sim N(0,1)$$

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$, $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$に従っていて，母分散 $\sigma_{1}^2, \sigma_{2}$が未知であるが等しいとみなせる場合

$$T = \frac{({\bar X} - {\bar Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{{\ha... ... {\hat \sigma}^{2} = \frac{n_{1}S_{1}^{2} + n_{2}S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}.$$

母分散の比の検定

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$, $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$に従っている場合

$$F = \frac{\sigma_{2}^{2}{S_{1}^{\prime}}^{2}}{\sigma_{1}^{2}{S_{2}^{\prime}}^{2}} \sim F(n_{1} - 1, n_{2} - 1)$$

母比率の検定

二項母集団からの大きさ$n$の標本のうち属性Aを持つものの個数を確率変数$X$で表すと， $X \sim B(n,p)$に従う．$n$が十分大きいときは$X$は近似的に正規分布 $N(np,np(1-p))$に従う(ラプラスの定理).これを用いて，母比率$p$の検定を行う．

$$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0,1)$$

ただし， $p = \frac{X_{1}+X_{2}}{n_{1} + n_{2}}$

母比率の差の検定

２つの母集団$A,B$の中で1つの特性$C$を持つものの母比率を $p_{1},p_{2}$とする．この母集団からそれぞれ大きさ $n_{1},n_{2}$個の標本を抽出し，その特性を持つものの個数を $X_{1},X_{2}$とする．

$$Z = \frac{X_{1}/n_{1} - X_{2}/n_{2}}{\sqrt{(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) p(1-p)}} \sim N(0,1)$$

多項分布に対する適合度の検定

$A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}$の互いに排反な事象のいずれかが現れる多項分布において， $P(A_{i}) = p_{i}$とすると，大きさ$n$の標本のうち$A_{i}$に入る期待値は $np_{i} = m_{i}$である．また，大きさ$n$の標本のうち$A_{i}$に入る個数を確率変数$X_{i}$で表すと，$m \geq 5$のとき，

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(X_{i} - np_{i})^{2}}{np_{i}} = \sum_{i=1}^{k}\frac{X_{i}^{2}}{np_{i}} - n \sim \chi^{2}(k-1)$$

確率分布に対する適合度の検定

帰無仮説　$H_{0}$ : 「ある分布$D$に従う」において，$D$の分布の型は既知であって，母数 $\theta_{1},\ldots,\theta_{l}$を含んでいるとする．次に， $A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}$の互いに排反な事象のいずれかが現れる個数 $(X_{1},\ldots,X_{k})$の実現値を $(x_{1},\ldots,x_{k})$とし，母数 $\theta_{i}$を推測する．そして，この $\theta_{i}$を用いて$A_{i}$に入るべき期待度数 $m_{1},\ldots,m_{k}$を計算する．このとき，

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(X_{i} - m_{i})^{2}}{np_{i}} \sim \chi^{2}(k-l-1)$$

独立性の検定

対 $A_{i},B_{j}$の出現度数の確率変数を$X_{ij}$， $A_{i},B_{j}$の実現する確率を $p_{i},q_{j}$．また， $A_{i},B_{j}$が同時に起こる確率を$P_{ij}$とする． $nP_{ij} \geq 5$のとき，

$$\chi^2 = \sum_{i =1}^{k}\sum_{j =1}^{l}\frac{X_{ij} - nP_{ij}}{nP_{ij}} \sim \chi^2((k-1)(l-1)), \ \ P_{ij} = p_{i}q_{j}$$