確率分布(Probability distribution)

• 確率変数 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$なる$n$個の値をとる変数$X$に対して，$X = x_{i}$　なる確率$p_{i}$が与えれているとき，$X$を確率変数といいます．
• 確率分布 確率変数$X$とそれに対応する確率 $P(X = x_{i})$との対応関係を確率分布といいます．
• 分布関数 確率変数$X$の値がある値$x$までとる確率を$F(x)$で表し，確率変数$X$の分布関数といいます．つまり，分布関数は $F(x) = P(X \leq x)$で与えられます．

例題 2..1  

サイコロを6回投げるとき，$E =$ 「1の目がでる」という事象のおきる確率は $P(E) = \frac{1}{6}$で与えられる．このとき，$X =$「事象$E$が発生する回数」とおくと，$X$は0から6までの7個の値をとる変数で，

$$p_{i} = P(X = i) = \binom{6}{i}\left(\frac{1}{6}\right)^{i}\left(\frac{5}{6}\right)^{6-i}$$

で与えられます．したがって，$X$は確率変数で，その確率分布は2項分布(binomial distribution)とよばれ， $X \sim B(6,\frac{1}{6})$と表します．

次の1〜3を満たす試行をベルヌーイ試行といいます．

1. 各試行において，その事象が発生するか否かのみを問題にする
2. 各試行は統計的に独立
3. 対象とする事象が発生する確率は，各試行を通じて一定

1回の試行において，ある事象$X$が発生する確率を$p$とします．$n$回のベルヌーイ試行列において，ちょうど$i$回事象$X$が発生する確率は

$$P(X = i) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$$

で表され，このとき$X$の確率分布を2項分布といい， $X \sim B(n.p)$と表します．

確率変数$X$のとる値が有限個または，無限個であっても自然数で番号が付けられる場合，確率変数$X$は離散型であるという．また，確率変数$X$がある区間内の全ての実数を取り得る場合，連続型であるという．