確率分布

• 確率変数 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$なる$n$個の値をとる変数$X$に対して，$X = x_{i}$　なる確率$p_{i}$が与えれているとき，$X$を確率変数といいます．
• 確率分布 確率変数$X$とそれに対応する確率 $P(X = x_{i})$との対応関係を確率分布といいます．
• 分布関数 確率変数$X$の値がある値$x$までとる確率を$F(x)$で表し，確率変数$X$の分布関数といいます．つまり，分布関数は $F(x) = P(X \leq x)$で与えられます．

例題 2..1  

サイコロを6回投げるとき，$E =$ 「1の目がでる」という事象のおきる確率は $P(E) = \frac{1}{6}$で与えられる．このとき，$X =$「事象$E$が発生する回数」とおくと，$X$は0から6までの7個の値をとる変数で，

$$p_{i} = P(X = i) = \binom{6}{i}\left(\frac{1}{6}\right)^{i}\left(\frac{5}{6}\right)^{6-i}$$

で与えられます．したがって，$X$は確率変数で，その確率分布は2項分布(binomial distribution)とよばれ， $X \sim B(6,\frac{1}{6})$と表します．

次の1〜3を満たす試行をベルヌーイ試行といいます．

1. 各試行において，その事象が発生するか否かのみを問題にする
2. 各試行は統計的に独立
3. 対象とする事象が発生する確率は，各試行を通じて一定

1回の試行において，ある事象$X$が発生する確率を$p$とします．$n$回のベルヌーイ試行列において，ちょうど$i$回事象$X$が発生する確率は

$$P(X = i) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$$

で表され，このとき$X$の確率分布を2項分布といい， $X \sim B(n.p)$と表します．

確率変数$X$のとる値が有限個または，無限個であっても自然数で番号が付けられる場合，確率変数$X$は離散型であるという．また，確率変数$X$がある区間内の全ての実数を取り得る場合，連続型であるという．

離散型の場合

確率変数$X$のとる値を $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$とし，各事象 $(X = x_{i})$の確率を $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$とするとき，

$$P(X = x_{i}) = p_{i} (i = 1,2,\ldots, n) \sum{p_{i}} = 1, (p_{i} \geq 0)$$

で表される．これより，$X$の確率分布$f$は

Xの値 $x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$
$P(X = x_{i}) = p_{i} = f(x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$

また，確率変数$X$のとる値を $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$とするとき，その分布関数$F(x_{r})$は次のように求められる．

$$F(x_{r}) = P(X \leq x_{r}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = \sum_{i=1}^{r}p_{i}$$

確率分布$f$と分布関数$F$は次の性質をもつ．

1. $0 \leq p_{i} = f(x_{i}) \leq 1 (i = 1,2,\ldots, n)$
2. $F(x_{n}) = P(X \leq x_{n}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1$
3. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
4. $a < b$ $\Longrightarrow$ $F(a) < F(b)$

平均と分散

確率変数$X$の平均(期待値)と分散は次の式で定義されます．

$$\mu = E(X) = \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i}$$

$$\sigma^2 = V(X) = E\left((X- \mu)^2\right) =E(X^2) - E(X)^2$$

例題 2..2  

$E(X) = \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i}, E(Y) = \sum_{j=1}^{l}y_{j}q_{j}$のとき，

$$E(X + Y ) = E(X) + E(Y)$$

が成り立つことを示そう．

解答 $P(X = x_{i}, Y = y_{j})$を$p_{ij}$で表すと

$$\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{l}p_{ij} = p_{i}\hskip 3cm \s... ...1}^{l}p_{ij} = \sum_{i=1}^{k}p_{i} = \sum_{j=1}^{l}q_{j} = 1 \end{array}\right.$$

これより，

$$E(X + Y) = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(x_{i} + y_{j})p_{ij}$$

$$= \sum_{i=1}^{k}(x_{i}\sum_{j=1}^{l}p_{ij}) + \sum_{j=1}^{l}(y_{j}\sum_{i=1}^{k}p_{ij})$$

$$= \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i} + \sum_{j=1}^{l}y_{j}q_{j} = E(X) + E(Y)$$

例題 2..3  

$E((X - \mu)^2) = E(X^2) - (E(X))^2$が成り立つことを示そう．

解答

$$E((X - \mu)^2) = E(X^2 - 2X\mu + \mu^2)$$

$$= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 E(1)$$

$$= E(X 2) - 2E(X)E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - E(X)^2$$

連続型の場合 確率密度関数

連続変量の確率分布において，任意の定数 $a,b (a < b)$に対して，確率
$P_{r}(a \leq X \leq b)$が

$$P_{r}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

で与えられるような連続関数$f(x)$が $(-\infty,\infty)$で存在するとき，この$f(x)$を，この確率分布の確率密度関数(probability density function)といいます．また，確率密度関数は次の性質を持っています．

$$f(x) \geq 0$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

確率分布

確率変数$X$が区間 $-\infty < X \leq x$にある確率が

$$F(x) = P_{r}(X \leq x)$$

で定められる関数$F(x)$を，確率変数$X$の確率分布(probability distribution)といいます．

平均と分散

確率変数$X$の平均(期待値)と分散は次の式で定義されます．

$$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx$$

$$\sigma^2 = V(X) = E\left((X- \mu)^2\right) = \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2 f(x) dx$$

正規分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} EXP\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right], -\infty < x < \infty$$

で与えられるとき，確率変数$X$は正規分布に従うといい， $X \sim N(\mu, \sigma^2)$と表わします．

$X \sim N(3, 2^{2})$を表すと，次のようになります．

このままでは，比較しにくいので，標準化(normalization)を行ないます．

標準化

確率変数$X$の平均$E(X)$を0に，分散$V(X)$を1に直すことを標準化といいます．

標準化の方法

$$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$$

とおくと

$$E(Z) = 0, V(Z) = 1$$

になります．

$P_{r}(Z \leq z)$を求めるには， $P_{r}(Z \leq z) = P_{r}(Z \leq 0) + P_{r}(0 < Z \leq z)$を求めます． $P_{r}(Z \leq 0)$は標準正規分布の左半分なので，その値は0.5となります． $P_{r}(0 < Z \leq z)$の値は標準正規分布表を用いて求めます．

図: 正規分布

例題 2..4  

$X \sim N(60.9, 2.9^2)$のとき，
(1) $P(X \leq 63.8)$を求めよ
(2) $P(62.3 < X \leq 63.0)$を求めよ．

解答
(1) 標準化を行うと，

$$P(X \leq 63.8) = P(\frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.8 - 60.9}{2.9})$$

$$= P(Z \leq \frac{2.9}{2.9}) = P(Z \leq 1)$$

$$= P(Z \leq 0) + P(0 \leq Z \leq 1) = 0.5 + 0.3413 = 0.8413$$

(2)

$$P(\frac{62.3-60.9}{2.9} < \frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.0 - 60.9}{2.9})$$

$$= P(\frac{1.4}{2.9} < Z \leq \frac{2.1}{2.9}$$

$$= P(0.48 < Z \leq 0.72)$$

$$= P(0 \leq Z \leq 0.72) - P(0 \leq Z \leq 0.48)$$

$$= 0.2642 - 0.1844 = 0.0798$$

統計学演習問題 4

1. $X \sim N(80,6^2)$のとき，次の確率を求めよ．

(a) $P_{r}(X \leq 90)$

(b) $P_{r}(\vert X - 80\vert \leq 12)$

2. 都市Aの夏期を除く各期の一人一日当たりの水需要量は，これまでの何年かの実績からほぼ $N(210,21^2)$に従うことが分かっているとする．今年の一人当たりの水需要量(夏期を除く)が250(l/人)以上になる確率を求めよ．