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演習問題解答

1スタージスの式から

階級数 $ = 1 + \frac{\log{100}}{\log{2}} = 1 + 6.64 = 7.64 $ また最大値440最小値300より，階級幅は

階級幅 $ = \frac{440 - 300}{7.64} = 18.4 $ となるので，階級幅を18ととることにします．これより度数分布表を作成します．


表: 度数分布表
階級 階級値 度数 相対度数 累積度数 累積相対度数
300 $ \sim$ 318 309 2 0.02 2 0.02
318 $ \sim$ 336 327 10 0.1 12 0.12
336 $ \sim$ 354 345 25 0.25 37 0.37
359 $ \sim$ 372 363 31 0.31 68 0.68
372 $ \sim$ 390 381 8 0.08 76 0.76
390 $ \sim$ 408 399 18 0.18 94 0.94
408 $ \sim$ 426 417 5 0.85 99 0.99
426 $ \sim$ 444 435 1 0.01 100 1.00

平均値

$\displaystyle \overline{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{100}[318\cdot2 + 336\cdot 10 + 354\cdot 25 + 363 \cdot 31 + 381 \cdot 8 + 399 \cdot 18 + 417 \cdot 5 + 435 \cdot 1]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 365.16$  

最大値 440

最小値 300

中央値 $ \displaystyle{\frac{360 + 360}{2} = 360}$

最頻値 363

図: ヒストグラム
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{STATFIG/Fig1-1.eps} \end{center}\end{figure}

図: 累積度数分布表
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{STATFIG/Fig1-2.eps} \end{center}\end{figure}

問題解答２

2.

電卓を使う場合は必ず途中の値を書く必要があります．また，計算は小数点以下2桁までで表わすことにします．

$ T_{x} = 841$ $ T_{y} = 806$

$ \overline x = 35.04 \overline y = 33.58$

$ \displaystyle{T_{xx} = \sum_{i=1}^{24} x_{i}^2 = 45553 T_{yy} \sum_{i=1}^{24} y_{i}^2 = 36990}$

$ \displaystyle{s_{x} = \sqrt{\frac{1}{24}T_{xx} - (\overline x)^2} = 25.88 s_{y} = \sqrt{\frac{1}{24}T_{yy} - (\overline y)^2} = 20.34}$

$ \displaystyle{T_{xy} = \sum_{i=1}^{24} x_{i}y_{i} = 37192}$

これより

$\displaystyle s_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n}T_{xy} - \frac{T_{x}}{n}\frac{T_{y}}{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{24} \cdot 37192 - \frac{841}{24}\cdot \frac{806}{24} = 372.85$  

$\displaystyle r = \frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}} = \frac{372.85}{25.88\cdot 20.34} = 0.71$

これより正の相関でかなり強い相関があるといえる．

問題解答３

3

階級数 $ = 1 + \frac{\log{n}}{\log{2}} = 1 + \frac{\log{24}}{\log{2}} = 1 + 4.58 = 5.58$

また$ x$の最大値109最小値13より

階級幅 $ = \frac{109 - 13}{5.58} = 17.20$

これより$ x$の階級幅を17と取ります．また$ y$の最大値65最小値5より

$\displaystyle 階級幅 = \frac{65-5}{5.58} = 10.75 $

これより$ y$の階級幅を10と取ります．


表: 相関表
  x 10 $ \sim$ 27 27 $ \sim$ 44 44 $ \sim$ 61 61 $ \sim$ 78 78 $ \sim$ 95 95 $ \sim$ 112  
y 階級値 18.5 35.5 52.5 69.5 86.5 103.5 計
0 $ \sim$ 10 5 3           3
10 $ \sim$ 20 15 6           6
20 $ \sim$ 30 25 1 2         3
30 $ \sim$ 40 35     1       1
40 $ \sim$ 50 45 1 1         2
50 $ \sim$ 60 55 2 3     2   7
60 $ \sim$ 70 65         1 1 2
    13 7 1   3 1 24

$ T_{x} = 841$ $ T_{y} = 806$

$ \overline x = 35.04 \overline y = 33.58$

$ \displaystyle{T_{xx} = \sum_{i=1}^{24} x_{i}^2 = 45553 T_{yy} \sum_{i=1}^{24} y_{i}^2 = 36990}$

$ \displaystyle{s_{x} = \sqrt{\frac{1}{24}T_{xx} - (\overline x)^2} = 25.88 s_{y} = \sqrt{\frac{1}{24}T_{yy} - (\overline y)^2} = 20.34}$

$ \displaystyle{T_{xy} = \sum_{i=1}^{24} x_{i}y_{i} = 37192}$


$\displaystyle s_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n}T_{xy} - \frac{T_{x}}{n}\frac{T_{y}}{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{24} \cdot 37192 - \frac{841}{24}\cdot \frac{806}{24} = 372.85$  

$\displaystyle r = \frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}} = \frac{372.85}{25.88\cdot 20.34} = 0.71$

これより， $ x$上の$ y$の回帰直線は

$\displaystyle y - 33.58 = \frac{372.85}{670.24}(x - 35.04) = 0.56(x - 35.04) $

したがって

$\displaystyle y = 0.56 x + 13.96 $

問題解答４

1.

(a) 標準化する．

$\displaystyle P_{r}(X \leq 90)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}\left(\frac{X - 80}{6} \leq \frac{90 - 80}{6}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(Z \leq 1.67) = P_{r}(-\infty < Z < 0) + P_{r}(0 \leq Z \leq 1.67) = 0.95$  

(b)

$\displaystyle P_{r}(\vert X - 80\vert \leq 12)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}\left(\frac{\vert X - 80\vert}{6} \leq \frac{12}{6}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\vert Z\vert \leq 2) = 2 P_{r}(0 \leq Z \leq 2) = 2(0.477) = 0.95$  

(2) $ X$を一人一日当たりの水需要量とすると， $ X \sim N(210,21^2)$．これより一人当たりの水需要量(夏期を除く)が250(l/人)以上になる確率は $ P_{r}(X \geq 250)$で与えられる．したがって，

$\displaystyle P_{r}(X \geq 250)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}\left(\frac{X - 210}{21} \geq \frac{250 - 210}{21}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(Z \geq 1.90) = \frac{1}{2} - P_{r}(0 < Z < 1.96) = 0.5 - 0.475 = 0.025$  

問題解答５

1.

$\displaystyle \bar{X}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{10}(110 +121+133+ 124+ 126+118 + 112+125+ 131+ 120) = 122 {\rm (cm)}$  
$\displaystyle U^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{9}\left((110 - 122)^{2} + (121 - 122)^{2} + \cdots + 120 - 122)^{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 55.111 {\rm (cm)}$  

また， $ \displaystyle{S^{2} = \frac{9}{10}U^{2} = 49.5999}$ より，$ S = 7.043$となります．

問題解答６

1 ある水域の一定区間における水質BODを$ X$とおくと， $ X \sim N(\mu,6.25)$．又，標本数は15で，標本平均 $ \overline X = 7.2$より，

$\displaystyle \overline X \sim N(\mu,\frac{6.25}{15}) $

ここで， $ \overline X$を標準化すると，

$\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sqrt{\frac{6.25}{15}}} = \frac{7.25 - \mu}{\sqrt{\frac{6.25}{15}}} $

これより，

$\displaystyle P_{r}(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 0.95 $

を満たす， $ \displaystyle{z_{\frac{\alpha}{2}}}$を標準正規分布表を用いて求めると， $ \displaystyle{z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96}$ したがって，95%信頼区間は

$\displaystyle \vert Z\vert = \vert\frac{7.25 - \mu}{\sqrt{\frac{6.25}{15}}}\vert \leq 1.96 $

つまり

$\displaystyle 7.25 - 1.96 \sqrt{\frac{6.25}{15}} \leq \mu \leq 7.25 + \sqrt{\frac{6.25}{15}} $

2 標準偏差が2.2より，母分散 $ \sigma^{2} = 6.25$は既知である．この母集団から無作為に選んだ標本$ X_{i}$は $ X_{i} \sim N(\mu, 6.25)$の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

$\displaystyle \bar{X} \sim N(\mu, \sigma^{2}/5)$

となる．ここで，$ \bar{X}$を求めると，

$\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{5}[28 + 24 + 31 + 27 + 22] = \frac{132}{5} = 26.4$

標準化を行なうと，

$\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/5}} \sim N(0,1)$

となる． 95%信頼区間より， $ P_{r}(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 0.95$. また， $ z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$. したがって，

$\displaystyle \bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}}$

$\displaystyle 26.4 - 1.96\sqrt{6.25/5} \leq \mu \leq 26.4 + 1.96\sqrt{6.25/5}$

$\displaystyle 24.21 \leq \mu \leq 28.59$

3 母平均$ \mu = 146$であるが母分散 $ \sigma^{2}$は未知である．この母集団から無作為に選んだ標本$ X_{i}$は $ X_{i} \sim N(146, \sigma^{2})$の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

$\displaystyle \bar{X} \sim N(146, \sigma^{2}/4)$

となる．ここで，$ \bar{X}$を求めると，

$\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{4}[145.3 + 145.1 + 145.4 + 146.2] = \frac{582}{4} = 145.5$

母分散の推定に$ {S'}^{2}$を用いると，

$\displaystyle T = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{{S'}^{2}/4}} \sim t_{n-1,\alpha/2}$

となる．そこで，$ {S'}^{2}$を求めると，
$\displaystyle {S'}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{3}[(145.3 - 145.5)^{2} + (145.1 - 145.5)^{2} + (145.4 - 145.5)^{2} + (146.2 - 145.5)^{2}]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{3}(0.04 + 0.16 + 0.01 + 0.49) = 0.23$  

となる．

95%信頼区間より， $ P_{r}(\vert T\vert \leq t_{n-1,\alpha/2}) = 0.95$. また， $ t_{3,0.005/2} = 3.18$. したがって，

$\displaystyle \bar{X} - t_{3,0.05/2}\sqrt{\frac{{S'}^{2}}{4}} \leq \mu \leq \bar{X} + t_{3,0.05/2}\sqrt{\frac{{S'}^{2}}{4}}$

$\displaystyle 145.5 - 3.18\sqrt{0.23/4} \leq \mu \leq 145.5 + 3.18\sqrt{0.23/4}$

$\displaystyle 144.73 \leq \mu \leq 146.26$

問題解答7

1 標本比率は $ \hat{p} = \frac{180}{900} = 0.2$．また， $ z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$であるから，十分大きな$ n$に対して，統計量$ \bar{X}$の分布が正規分布 $ N(p,\frac{pq}{n})$で近似される．したがって，与えられた$ \alpha$に対して

$\displaystyle P(\frac{\vert\bar{X} - p\vert}{\sqrt{pq}{n}} \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha$

が成り立つ．これより，

$\displaystyle \bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq p \leq \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

が成り立つ．ここで，$ \bar{X}$と$ p$を$ \bar{p}$で置き換えると，

$\displaystyle (\bar{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}} , \bar{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}$

これより，

$\displaystyle \left(0.2 - 1.96 \sqrt{\frac{(0.2)(1-0.2)}{900}}, 0.2 + 1.96 \sqrt{\frac{(0.2)(1-0.2)}{900}}\right)$

より， $ (0.174, 0.226)$となる．

1 標本比率は $ \hat{p} = \frac{187}{300} = 0.623$．また， $ z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$であるから，十分大きな$ n$に対して，統計量$ \bar{X}$の分布が正規分布 $ N(p,\frac{pq}{n})$で近似される．したがって，与えられた$ \alpha$に対して

$\displaystyle P(\frac{\vert\bar{X} - p\vert}{\sqrt{pq}{n}} \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha$

が成り立つ．これより，

$\displaystyle \bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq p \leq \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

が成り立つ．ここで，$ \bar{X}$と$ p$を$ \bar{p}$で置き換えると，

$\displaystyle (\bar{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}} , \bar{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}$

これより，

$\displaystyle \left(0.623 - 1.96 \sqrt{\frac{(0.623)(1-0.623)}{300}}, 0.623 + 1.96 \sqrt{\frac{(0.623)(1-0.623)}{300}}\right)$

より， $ (0.568, 0.678)$となる．

問題解答８

1 この工場の製品を$ X$とすると， $ X \sim N(\mu, 0.20^{2})$であることが分かる．この工場から16個の製品を取り出したとき，$ \bar{X}$をそれらの標本平均とすると，

$\displaystyle \bar{X} = 7.09, \bar{X} \sim N(\mu, 0.20^{2}/16)$

となる． 次に，この日の製品が規格から外れているかの検定を行なう．

1　

$\displaystyle H_{0}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \mu = 7$  
$\displaystyle H_{1}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \mu \neq 7$  

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量 $ \sigma^2$が既知より，

$\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma^2/n} \sim N(0,1)$

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle Z_{0} = \frac{7.09 - 7.00}{\sqrt{0.20^{2}/16}} = \frac{4(0.09)}{0.2} = 1.8$

5　
図: 正規分布
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{STATFIG/Fig4-4.eps} \end{center}\end{figure}
$ z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$より，$ H_{0}$を容認する．

95%信頼区間は

$\displaystyle 7.09 - 1.96\sqrt{\frac{0.20^{2}}{16}} \leq \mu \leq 7.09 - 1.96\sqrt{\frac{0.20^{2}}{16}}$

より，

$\displaystyle 6.99 \leq \mu \leq 7.19$

2 この工場の製品を$ X$とすると， $ X \sim N(\mu, 0.0016)$であることが分かる．この工場から8個の製品を取り出したとき，$ \bar{X}$をそれらの標本平均とすると，

$\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{8}(11.97 + 12.02 + \cdots + 12.05) = 12.028$

となる． 次に，この日の製品の直径の分散は0.0016より大きいといえるかの検定を行なう．

1　

$\displaystyle H_{0}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sigma^{2} =0.0016$  
$\displaystyle H_{1}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sigma^{2} > 0.0016$  

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量 $ \mu$が既知で $ \sigma^{2}$の検定を行なうので

$\displaystyle \chi^{2} = \frac{nS^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi_{\alpha, n-1}^{2}$

4　$ H_{0}$のもとで

$\displaystyle S^{2} = \frac{1}{8}[(11.97-12.02)^{2} + \cdots + (12.05 - 12.028)^{2}] = 0.0021$

$\displaystyle \chi_{0}^{2} = \frac{8 (0.0021)}{0.0016} = 10.5$

5　

$\displaystyle \chi_{0}^{2} > \chi_{0.05, 7}^{2} = 14.07$

となり，$ H_{0}$は棄却される．

図: χ2乗分布
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=15cm]{STATFIG/kai2-1.eps} \end{center}\end{figure}
95%信頼区間は

$\displaystyle \chi_{1 - 0.05/2, 8-1}^{2} \leq \frac{0.0168}{\sigma^{2}} \leq \chi_{0.05/2, 8-1}$

より，

$\displaystyle 1.690 \leq \frac{0.0168}{\sigma^{2}} \leq 16.01$

$\displaystyle 0.0010 \leq \sigma^{2} \leq 0.0099$

問題解答１０

1

$\displaystyle n_{A}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 10, \bar{X} = 82, S_{A}^{2} = 54.41$  
$\displaystyle n_{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 12, \bar{Y} = 76, S_{B}^{2} = 59.17$  

母平均の差の検定である． $ \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$より，

1　 \begin{displaymath}\begin{array}{l} H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}\\ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2} \end{array}\end{displaymath}

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量

$\displaystyle T = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\frac{... ...sigma}^{2}}{n_{A}} + \frac{\hat{\sigma}^{2}}{n_{B}}}} \sim t_{n_{A} + n_{B} -2}$

ただし，

$\displaystyle \hat{\sigma}^{2} = \frac{n_{A}S_{A}^{2} + n_{B}S_{B}^{2}}{n_{A} + n_{B}-2}$

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle T_{0} = \frac{82 - 76}{\sqrt{62.7/10 + 62.7/12}} = \frac{6}{\sqrt{6.27 + 5.23}} = 1.77$

5　 $ t_{0.05/2, 20} = 2.23$より，

$\displaystyle T_{0} = 1.77 < t_{0.05/2,20} = 2.09$

したがって，$ H_{0}$は棄却されない．

II.

$\displaystyle n_{A}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 10, \bar{X} = 82, S_{A}^{2} = 54.41, {S_{A}'}^{2} = 60.44$  
$\displaystyle n_{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 12, \bar{Y} = 76, S_{B}^{2} = 59.17, {S_{B}'}^{2} = 64.53$  

2母分散の比の左側検定である． $ \sigma_{1}^2 < \sigma_{2}^2$

1　 \begin{displaymath}\begin{array}{l} H_{0} : \sigma_{A}^{2} = \sigma_{B}^{2}\\ H_{1} : \sigma_{A}^{2} < \sigma_{B}^{2} \end{array}\end{displaymath}

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量

$\displaystyle F = \frac{\sigma_{B}^{2}{S_{A}'}^{2}}{\sigma_{A}^{2}{S_{B}'}^{2}} \sim F_{n_{A}-1, n_{B}-1}$

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle F_{0} = \frac{60.44}{64.53} = 0.936$

5　

$\displaystyle F_{1-0.05, 10-1,12-1} = \frac{1}{F_{0.05, 12-1, 10-1}} = \frac{1}{3.105} = 0.322$

より，

$\displaystyle F_{0} = 0.936 > F_{1-0.05, 10-1,12-1} = 0.322$

したがって，$ H_{0}$は棄却されない．

一般に，

$\displaystyle F_{\alpha, n_{1},n_{2}} = \frac{1}{F_{1-\alpha, n_{2}, n_{1}}}$

が成り立つ．

問題解答１１

1 遺伝形質　 $ A : B : C : D = 9:3:3:1$

1　
$ H_{0}$ : 「メンデル比に従っている」 $ ({p_{1}}, {p_{2}}, {p_{3}}, {p_{4}} = \frac{9}{16}, \frac{3}{16}, \frac{3}{16}, \frac{1}{16})$
$ H_{1}$ : 「メンデル比に従っていない」 $ ({p_{1}}, {p_{2}}, {p_{3}}, {p_{4}} \neq \frac{9}{16}, \frac{3}{16}, \frac{3}{16}, \frac{1}{16})$

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量

$\displaystyle \chi^{2} = \sum_{i=1}^{4}\frac{(X_{i} - np_{i})^{2}}{np_{i}} = \sum_{i=1}^{4}\frac{X^{2}}{np_{i}} - n$

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle \chi_{0}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{243^{2}}{229.5} + \frac{72^{2}}{76.5} + \frac{78^{2}}{76.5} + \frac{15^{2}}{25.5} - 408$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 257.294 + 67.764 + 79.529 + 8.824 - 408 = 5.411$  

5　 $ \chi_{0.05, 4-1}^{2} = 7.81$より，

$\displaystyle \chi_{0}^{2} = 5.411 < \chi_{0.05, 3}^{2} = 7.81$

したがって，$ H_{0}$を容認．

問題解答１２

1

1　
$ H_{0}$ : 「ポワソン分布 $ P(\lambda)$に従っている」

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量

この表をポワソン分布とみて，死亡数の理論値を求める．これがポワソン分布 $ P(\lambda)$によるものと考えて，$ \lambda$の値を推定する．死亡者数$ k$のときの確率を$ p_{k}$とすると，

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}kp_{k} = E(X) = \lambda$


死亡者数 $ k$ 0 1 2 3 4 計
部隊数 $ f_{k}$ 142 99 46 11 2 300
  $ kf_{k}$ 0 99 92 33 8 232
  $ p_{k}$ 0.473 0.33 0.153 0.036 0.0066  
理論度数 $ m_{k}$ 141.9 99 45.9 10.8 1.98  

ここで， $ np_{k} \approx f_{k}$より $ \sum_{k}kf_{k} \approx \lambda n$．これより平均値$ \lambda$は

$\displaystyle \lambda \approx \frac{1}{n}\sum_{k}kf_{k} = \frac{232}{300} = 0.77$


死亡者数 $ k$ 0 1 2 3 4 計
部隊数 $ f_{k}$ 142 99 46 11 2 300
理論度数 $ m_{k}$ 141.9 99 45.9 10.8 1.98  

この表で，$ k = 4$の所の$ m_{k}$は単独で5よりも小さいので，$ \chi^2$検定ができない．そこで，右から順に$ m_{i}$を加えて5を越すまで合併すると，$ k \geq 3$の階級を1つにしなければならない．したがって，

$\displaystyle \chi^{2} = \sum_{i=0}^{3}\frac{(x_{i} - m_{i})^{2}}{m_{i}} $

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle \chi_{0}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(142-141.9)^2}{141.9} + \frac{(99-99)^2}{99} + \frac{(46-45.9)^{2}}{45.9} + \frac{(13-12,78)^2}{12.78}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.0040$  

5　 $ \chi_{0.05, 3-1-1}^{2} = 3.84$より，

$\displaystyle \chi_{0}^{2} = 0.0040 < \chi_{0.05, 1}^{2} = 3.84$

したがって，$ H_{0}$を容認．

母数$ \lambda$が標本から1個推定されたので，自由度は $ 3 - 1 -1 = 1$となる．

2

1
$ H_{0}$ : 「飲酒と喫煙とは独立である．」
$ H_{1}$ : 「飲酒と禁煙とは独立ではない．」

2　有意水準 $ \alpha = 0.05$

3　統計量

$\displaystyle \chi^{2} = \sum_{i=1}^{350}\frac{(X_{ij} - nP_{ij})^{2}}{nP_{ij}}$

4　$ H_{0}$のもとで，

$\displaystyle \chi_{0}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 350[\frac{1}{159}(\frac{39^{2}}{80} + \frac{54^{2}}{120} + \frac{49^{2}}{104} + \frac{17^{2}}{46})$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \frac{1}{119}(\frac{27^{2}}{80} + \frac{43^{2}}{120} + \frac{40^{... ...14^{2}}{80} + \frac{23^{2}}{120} + \frac{15^{2}}{104} + \frac{20^{2}}{46})] - 1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 367.55$  

4　自由度 $ (3-1)\times(4-1) = 6$より， $ \chi_{0.05, 6}^{2} = 12.59$.

5　 $ \chi_{0}^{2} = 367.55 > \chi_{0.05, 6}^{2} = 12.59$より，$ H_{0}$は棄却される．したがって，飲酒と喫煙には関係がある．

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