比率の検定(Test of proportions)

母比率の検定(大標本の場合) 母集団の中で，ある属性に対して事象$A$の起こる割合$p$を事象$A$の母比率といいます．この母比率に関する仮説を，標本値から検定することを考えます．

母比率が$p$の二項母集団から抽出された大きさ$n$の標本を $(X_{1},\ldots,X_{n})$とします．ここで，

$$X_{i} = \left\{\begin{array}{ll} 1 & Aのとき\\ 0 & \bar{A}のとき \end{array}\right.$$

とします．このとき， $X = X_{1} + \cdots + X_{n}$とすると，$X$は標本中$A$であるものの個数を表す統計量で， $${\frac{X}{n}}$$は事象$A$の標本比率といいます． そのとき，母比率$p$について， $p_{0}(0 \leq p_{0} \leq 1)$を既知の値として，帰無仮説

$H_{0}$: 「$p = p_{0}$」，対立仮説 $H_{1}$: 「 $p \neq p_{0}$」

を検定することが問題となります．

母比率$p$の二項母集団から大きさ$n$の標本 $(X_{1},\ldots,X_{n})$をとり， $X = X_{1} + \cdots + X_{n}$とすると$X$は二項分布$B(n,p)$に従います．ここで$n$が十分大きいときにはラプラスの定理によって，$X$は近似的に正規分布 $N(np,np(1-p))$に従い，標本比率 $\frac{X}{n} = \hat{p}$は近似的に正規分布 $N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$に従います．よって，標準化を行うと

$$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)$$

例題 4..5  

サイコロを600回投げたところ，1の目が108回出たという．1の目が出る母比率$p$は $\frac{1}{6}$か有意水準5%で検定せよ．

解答

1　
$H_{0}$ : 「1の目の出る確率 $p = \frac{1}{6}$」
$H_{1}$ : 「 $p \neq \frac{1}{6}$」

2　有意水準 $\alpha = 0.05$

3　統計量

$$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)$$

4　$H_{0}$のもとで， $\hat{p} = \frac{108}{600} = 0.18$より，

$$Z_{0} = \frac{0.18 - \frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6})}{600}}}$$

$$= 0.088$$

5　対立仮説より，標準正規分布の両側確率を用いる．

$$Z_{0} < Z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$$

したがって，$H_{0}$を容認．

母比率の差の検定

２つの母集団$A,B$の中で1つの特性$C$を持つものの母比率を $p_{1},p_{2}$とする．この母集団からそれぞれ大きさ $n_{1},n_{2}$個の標本を抽出し，その特性を持つものの個数を $X_{1},X_{2}$とする．このとき，母比率について

帰無仮説　$H_{0}$: 「 $p_{1} = p_{2}$」と対立仮説　$H_{1}$: 「 $p_{1} \neq p_{2}$」

を検定することを考えます．帰無仮説のもとで，母比率の値 $p_{1},p_{2}$は未知ですが，

$$p_{1} = p_{2} = p,\ 1-p = q$$

とおくと， $n_{1},n_{2}$がある程度大きければ $X_{1},X_{2}$の分布は正規分布 $(N(n_{1}p, n_{1}pq),\ N(n_{2}p, n_{2}pq)$によってそれぞれ近似されるので，統計量

$$\bar{X_{1}} = \frac{X_{1}}{n_{1}} \sim (N(p, \frac{pq}{n_{1}})$$

$$\bar{X_{2}} = \frac{X_{2}}{n_{2}}\sim (N(p, \frac{pq}{n_{2}})$$

$$\frac{X_{1}}{n_{1}} - \frac{X_{2}}{n_{2}} \sim N(0, (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})pq)$$

これより，

$$Z = \frac{X_{1}/n_{1} - X_{2}/n_{2}}{\sqrt{(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) p(1-p)}} \sim N(0,1)$$

ただし，共通の母比率$p$は未知数ですので，観測比率

$$p = \frac{X_{1} + X_{2}}{n_{1} + n_{2}}$$

を用います．

例題 4..6  

テレビの視聴率調査で，ある番組について男性は400人中の無作為標本中120人が，女性は500人の無作為標本中180人が好きと答えた．実際に男女の好みに差があるといえるか，有意水準5%で検定せよ．

解答 ある番組を男性が好きな比率を$p_{1}$，女性が好きな比率を$p_{2}$とすると， $p_{1} = \frac{120}{400}, p_{2} = \frac{180}{500}$

1　
$H_{0}$ : 「男女で好みに差がない」 $p_{1} = p_{2}$
$H_{1}$ : 「男女で好みに差がある」 $p_{1} \neq p_{2}$

2　有意水準 $\alpha = 0.05$

3　統計量

$$Z = \frac{X_{1}/n_{1} - X_{2}/n_{2}}{\sqrt{(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) p(1-p)}} \sim N(0,1)$$

4　$H_{0}$のもとで， $p = \frac{120+180}{400+500} = \frac{1}{3}$より，

$$Z_{0} = \frac{120/400 - 180/500}{\sqrt{(\frac{1}{400} + \frac{1}{500}) \frac{1}{3}(1-\frac{1}{3})}}$$

$$= -1.897$$

5　対立仮説より，標準正規分布の両側確率を用いる．

$$\vert Z_{0}\vert < Z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$$

したがって，$H_{0}$を容認．

統計学演習問題 10

1 ある政党の支持率は従来28%であったが，最近の世論調査で無作為に抽出された3,000人有権者のうち支持率は25%であった．支持率が低下したと判断すべきか，有意水準5%で検定せよ．

2 あるテレビ番組の視聴率調査を男女別に行った．その結果，男性の無作為標本200人のうち25人が，女性の無作為標本300人のうち20人が見ていると答えた．このとき，男女の視聴率に差があるといえるか，有意水準5%で検定せよ．