検定に用いる統計量

母平均の検定

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従っていて，母分散 $\sigma^2$ が既知の場合

$\displaystyle Z = \frac{{\bar X} - \mu }{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \sim N(0,1)$

母集団が正規分布に従っていて $N(\mu,\sigma^2)$ ，母分散 $\sigma^2$ が未知の場合．母分散 $\sigma^2$ の不偏推定量 $S^{\prime^2}$ を用いる

$\displaystyle T = \frac{{\bar X} - \mu }{\sqrt{{S^{\prime}}^{2}/n}} \sim t(n-1)$

母分散の検定

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従っていて，母平均 $\mu$ が既知の場合

$\displaystyle \chi^2 = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \mu)^{2} \sim \chi^{2}(n)$

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従っていて，母平均 $\mu$ が未知の場合

$\displaystyle \chi^2 = \frac{n S^2}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1)$

母平均の差の検定

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$ , $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$ に従っていて，母分散 $\sigma_{1}^2, \sigma_{2}$ が既知の場合

$\displaystyle Z = \frac{({\bar X} - {\bar Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1} + \sigma_{2}^{2}/n_{2}}} \sim N(0,1)$

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$ , $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$ に従っていて，母分散 $\sigma_{1}^2, \sigma_{2}$ が未知であるが等しいとみなせる場合

$\displaystyle T = \frac{({\bar X} - {\bar Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{{\ha... ... {\hat \sigma}^{2} = \frac{n_{1}S_{1}^{2} + n_{2}S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}.$

母分散の比の検定

２つの母集団がそれぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$ , $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$ に従っている場合

$\displaystyle F = \frac{\sigma_{2}^{2}{S_{1}^{\prime}}^{2}}{\sigma_{1}^{2}{S_{2}^{\prime}}^{2}} \sim F(n_{1} - 1, n_{2} - 1)$

母比率の検定

二項母集団からの大きさの標本のうち属性Aを持つものの個数を確率変数で表すと， $X \sim B(n,p)$ に従う．が十分大きいときはは近似的に正規分布に従う(ラプラスの定理).これを用いて，母比率の検定を行う．

$\displaystyle Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0,1)$

ただし， $p = \frac{X_{1}+X_{2}}{n_{1} + n_{2}}$

母比率の差の検定

２つの母集団の中で1つの特性を持つものの母比率を $p_{1},p_{2}$ とする．この母集団からそれぞれ大きさ $n_{1},n_{2}$ 個の標本を抽出し，その特性を持つものの個数を $X_{1},X_{2}$ とする．

$\displaystyle Z = \frac{X_{1}/n_{1} - X_{2}/n_{2}}{\sqrt{(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) p(1-p)}} \sim N(0,1)$

多項分布に対する適合度の検定

$A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}$ の互いに排反な事象のいずれかが現れる多項分布において， $P(A_{i}) = p_{i}$ とすると，大きさの標本のうち $A_{i}$ に入る期待値は $np_{i} = m_{i}$ である．また，大きさの標本のうち $A_{i}$ に入る個数を確率変数 $X_{i}$ で表すと， $m \geq 5$ のとき，

$\displaystyle \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(X_{i} - np_{i})^{2}}{np_{i}} = \sum_{i=1}^{k}\frac{X_{i}^{2}}{np_{i}} - n \sim \chi^{2}(k-1)$

確率分布に対する適合度の検定

帰無仮説　 $H_{0}$ : 「ある分布に従う」において，の分布の型は既知であって，母数 $\theta_{1},\ldots,\theta_{l}$ を含んでいるとする．次に， $A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}$ の互いに排反な事象のいずれかが現れる個数 $(X_{1},\ldots,X_{k})$ の実現値を $(x_{1},\ldots,x_{k})$ とし，母数 $\theta_{i}$ を推測する．そして，この $\theta_{i}$ を用いて $A_{i}$ に入るべき期待度数 $m_{1},\ldots,m_{k}$ を計算する．このとき，