t分布

定義 3..1

確率密度関数 $f_{n}(x)$ が

$\displaystyle f_{n}(x) = \frac{\gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\gamma(\frac{n}{2})}(1 + \frac{x^{2}}{n})^{-\frac{n+1}{2}} (n \geq 1)$

で与えられる分布 $T_{n}$ を自由度の分布という． $n\geq 3$ のとき，その期待値と分散は

$\displaystyle E(T_{n}) = 0, V(T_{n}) = \frac{n}{n-2}$

となる．

定理 3..7

$X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ がいずれも正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従う互いに独立な確率変数とする．このとき，

$\displaystyle U^2 = {S'}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \overline{X})^2$

とし，正の平方根を

とすると，

$\displaystyle T = \frac{\overline{X} - \mu}{U/\sqrt{n}}$

は自由度

の

分布に従う。

定理 3..8

を標準正規確率変数， $\chi_{n}^{2}$ を自由度

の $\chi ^{2}$ 確率変数とする。さらに，

と $\chi_{n}^{2}$ が互いに独立ならば，標本分布

$\displaystyle T_{n} = \frac{Z}{\sqrt{\chi_{m}^{2}/n}}$

は自由度

の

分布に従う。

自由度の分布をと表す．

分布の正規近似

分布は自由度が大きければ標準正規分布で近似でき，

$\displaystyle P_{r}(T_{n} \leq c) \approx P_{r}(Z \leq c)$

となる。 $\chi_{n}^{2}$ は

個の独立な確率変数の和であるから，

が大きければ $\chi_{n}^{2}/n$ は大数の法則により，1に収束する。 $T_{n}$ 確率変数の分母が１に近づくから， $T_{n}$ 確率変数は分子の標準正規確率変数と変わらなくなる。