母比率の区間推定(大標本の場合)(confidence interval for population proportion with a large sample size)

母集団の中で，ある属性に対して事象$A$の起こる割合$p$を事象$A$の母比率といいます． 母比率が$p$の二項母集団から抽出された大きさ$n$の標本を $(X_{1},\ldots,X_{n})$とします．ここで，

$$X_{i} = \left\{\begin{array}{ll} 1 & Aのとき\\ 0 & \bar{A}のとき \end{array}\right.$$

とします．このとき， $X = X_{1} + \cdots + X_{n}$とすると，$X$は標本中$A$であるものの個数を表す統計量で， $${\frac{X}{n}}$$は事象$A$の標本比率といいます．

$\frac{X}{n}$は母比率$p$の不偏推定量である

母比率$p$の二項母集団から大きさ$n$の標本 $(X_{1},\ldots,X_{n})$をとり， $X = X_{1} + \cdots + X_{n}$とすると$X$は二項分布$B(n,p)$に従います．ここで$n$が十分大きいときにはラプラスの定理によって，$X$は近似的に正規分布 $N(np,np(1-p))$に従い，標本比率 $\frac{X}{n} = \hat{p}$は近似的に正規分布 $N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$に従います．よって，標準化を行うと

$$\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)$$

したがって，

$$P\left(\left\vert\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1- \alpha$$

が成り立ちます．この式を書き直すと

$$\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ \leq p \leq p + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

この両辺は母数$p$を含んでいるが，$n$が非常に大きいときには$\hat{p}$で近似できるので，母比率$p$の信頼度 $100(1 - \alpha)\%$の信頼区間は

$$\left(\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}... ...}}\ ,\ \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$$

となります．

定理 3..2  

[ラプラスの定理] $X \sim B(n,p)$のとき，十分大きな$n$に対して

$X$は近似的に $N(np,np(1-p))$に従う．

例題 3..7  

サイコロを600回投げたところ，1の目が108回出たという．1の目が出る母比率$p$を信頼度$95\%$で区間推定せよ．

解答 標本比率は $\hat{p} = \frac{108}{600} = 0.18$．また， $z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$であるから，上記の公式に代入すると

$$\left(0.18 - 1.96 \sqrt{\frac{(0.18)(0.82)}{600}},\ 0.18 - 1.96 \sqrt{\frac{(0.18)(0.82)}{600}}\right)$$

より， $(0.15, 0.21)$となります．