信頼区間

区間推定

母数 $\theta$ がある区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$ に入るだろうと推定するのが区間推定です．詳しくいうと，母数 $\theta$ を推定するために，母集団から無作為に抽出された標本から2つの統計値 $\theta_{1}, \theta_{2}$ を定める．このとき，あらかじめ指定された小さな確率 $\alpha (0 < \alpha < 1)$ に対して，常に

$\displaystyle P_{r}(\theta_{1} < \theta < \theta_{2}) = 1 - \alpha$

が満たされるとき，区間 $(\theta_{1}, \theta_{2})$ を $\theta$ の信頼区間， $\theta_{1}, \theta_{2}$ を信頼限界， $100(1 - \alpha)\%$ を信頼係数または信頼度といいます．信頼区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$ を求めることを区間推定といいます．

$\theta$ は一定値ですが，区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$ は標本によっていろいろ変わり，この区間に $\theta$ が入る確率が $1 - \alpha$ です．

区間推定法

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従い，母分散 $\sigma^2$ が分っているとします．このとき，母平均 $\mu$ はどの範囲にあるかを，どのくらい信頼できるかを考えて表わしてみましょう．

準備

標本 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ が， $X_{i} \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき，

$\displaystyle E(\overline X) = \mu, V(\overline X) = \frac{\sigma^2}{n}$

より

$\displaystyle \overline X \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

と表せます．また，

$\displaystyle S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \overline X)^2$ の期待値 $\displaystyle E(S^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

より

$\displaystyle {S'}^2 = \frac{n}{n-1}S^2$ の期待値 $\displaystyle E({S'}^2) = \sigma^2$

と表せます．

母平均 $\mu$ の区間推定( $\sigma^2$ 既知)

ここでは $\alpha = 0.05$ つまり，95%信頼区間を推定します．まず，

$\displaystyle \overline X \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

より標準化を行なうと，

$\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \sim N(0,1)$

これより，

$\displaystyle P_{r}\left(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha = 0.95$

ここで， $z_{\frac{\alpha}{2}}$ は，

$\displaystyle P_{r}(Z \geq z_{\frac{\alpha}{2}}) = \frac{\alpha}{2}$

を満たす点です．このとき， $z_{\frac{\alpha}{2}}$ を標準正規分布表の両側確率で求めると， $\alpha = 0.05$ のとき， $z_{\frac{\alpha}{2}}$ は

$\displaystyle z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$

となります．よって求める信頼区間は次の不等式を満たします．

$\displaystyle \vert Z\vert = \vert\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}}\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}$

この不等式を $\mu$ について解くと

$\displaystyle \overline X - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq \mu \leq \overline X + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}$

を得ます．これが母平均 $\mu$ の信頼区間となります．

図: 正規分布
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{STATFIG/Fig4-2.eps} \end{center}\end{figure}$

例題 3..6

標本

が与えられたとして，標準偏差が

である正規母集団の平均に対する $95\%$ 信頼区間を求めよう．

解答標準偏差が2.2より，母分散 $\sigma^{2} = 6.25$ は既知である．この母集団から無作為に選んだ標本 $X_{i}$ は $X_{i} \sim N(\mu, 6.25)$ の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

$\displaystyle \bar{X} \sim N(\mu, \sigma^{2}/5)$

となる．ここで， $\bar{X}$ を求めると，

$\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{5}[28 + 24 + 31 + 27 + 22] = \frac{132}{5} = 26.4$

標準化を行なうと，

$\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/5}} \sim N(0,1)$

となる． 95%信頼区間より， $P_{r}(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 0.95$ . また， $z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$ . したがって，

$\displaystyle \bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}}$

$\displaystyle 26.4 - 1.96\sqrt{6.25/5} \leq \mu \leq 26.4 + 1.96\sqrt{6.25/5}$

$\displaystyle 24.21 \leq \mu \leq 28.59$

次に，母集団が正規分布に従うことは分かっているが母分散 $\sigma^{2}$ が不明である場合を考えます．

平均値の区間推定( $\sigma^2$ 未知)

ここでは $\alpha = 0.05$ つまり，95%信頼区間を推定します．この場合，2つの母数 $\mu, \sigma^{2}$ が必要となりますが， $\sigma^{2}$ が未知なので， $\sigma^{2}$ を推定する不偏分散 ${S'}^{2}$ を $\sigma^{2}$ の代わりに用います．すると，母分散に無関係に