信頼区間

区間推定

母数$\theta$がある区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$に入るだろうと推定するのが区間推定です．詳しくいうと， 母数$\theta$を推定するために，母集団から無作為に抽出された標本から2つの統計値 $\theta_{1}, \theta_{2}$ を定める．このとき，あらかじめ指定された小さな確率 $\alpha (0 < \alpha < 1)$に対して，常に

$$P_{r}(\theta_{1} < \theta < \theta_{2}) = 1 - \alpha$$

が満たされるとき，区間 $(\theta_{1}, \theta_{2})$を$\theta$の信頼区間， $\theta_{1}, \theta_{2}$を信頼限界， $100(1 - \alpha)\%$を信頼係数または信頼度といいます．信頼区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$を求めることを区間推定といいます．

$\theta$は一定値ですが，区間 $[\theta_{1},\theta_{2}]$は標本によっていろいろ変わり，この区間に$\theta$が入る確率が $1 - \alpha$です．

区間推定法

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従い，母分散$\sigma^2$が分っているとします．このとき，母平均$\mu$はどの範囲にあるかを，どのくらい信頼できるかを考えて表わしてみましょう．

準備

標本 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$が， $X_{i} \sim N(\mu, \sigma^2)$のとき，

$$E(\overline X) = \mu, V(\overline X) = \frac{\sigma^2}{n}$$

より

$$\overline X \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$

と表せます．また，

$$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \overline X)^2$$   の期待値$$E(S^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$$

より

$${S'}^2 = \frac{n}{n-1}S^2$$   の期待値$$E({S'}^2) = \sigma^2$$

と表せます．

母平均$\mu$の区間推定($\sigma^2$既知)

ここでは $\alpha = 0.05$つまり，95%信頼区間を推定します．まず，

$$\overline X \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$

より標準化を行なうと，

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \sim N(0,1)$$

これより，

$$P_{r}\left(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha = 0.95$$

ここで， $z_{\frac{\alpha}{2}}$は，

$$P_{r}(Z \geq z_{\frac{\alpha}{2}}) = \frac{\alpha}{2}$$

を満たす点です．このとき， $z_{\frac{\alpha}{2}}$を標準正規分布表の両側確率で求めると， $\alpha = 0.05$のとき， $z_{\frac{\alpha}{2}}$は

$$z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$$

となります．よって求める信頼区間は次の不等式を満たします．

$$\vert Z\vert = \vert\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}}\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}$$

この不等式を$\mu$について解くと

$$\overline X - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq \mu \leq \overline X + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}$$

を得ます． これが母平均$\mu$の信頼区間となります．

図: 正規分布

例題 3..6  

標本 $28,24,31,27,22$が与えられたとして，標準偏差が$2.2$である正規母集団の平均に対する$95\%$信頼区間を求めよう．

解答 標準偏差が2.2より，母分散 $\sigma^{2} = 6.25$は既知である．この母集団から無作為に選んだ標本$X_{i}$は $X_{i} \sim N(\mu, 6.25)$の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^{2}/5)$$

となる．ここで，$\bar{X}$を求めると，

$$\bar{X} = \frac{1}{5}[28 + 24 + 31 + 27 + 22] = \frac{132}{5} = 26.4$$

標準化を行なうと，

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/5}} \sim N(0,1)$$

となる． 95%信頼区間より， $P_{r}(\vert Z\vert \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 0.95$. また， $z_{\frac{0.05}{2}} = 1.96$. したがって，

$$\bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{5}}$$

$$26.4 - 1.96\sqrt{6.25/5} \leq \mu \leq 26.4 + 1.96\sqrt{6.25/5}$$

$$24.21 \leq \mu \leq 28.59$$

次に，母集団が正規分布に従うことは分かっているが母分散 $\sigma^{2}$が不明である場合を考えます．

平均値の区間推定($\sigma^2$未知)

ここでは $\alpha = 0.05$つまり，95%信頼区間を推定します． この場合，2つの母数 $\mu, \sigma^{2}$が必要となりますが， $\sigma^{2}$が未知なので， $\sigma^{2}$を推定する不偏分散${S'}^{2}$を $\sigma^{2}$の代わりに用います．すると，母分散に無関係に

$$T = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{{S'}^{2}/n}}$$

は，自由度$n-1$の$t$分布に従うことが知られています．これより，

$$P_{r}(\vert T\vert \leq t_{n-1,\alpha/2})) = 1 - \alpha$$

となります．ここで， $t_{n-1,\alpha/2}$は，

$$P_{r}(T \geq t_{n-1,\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2}$$

を満たす点である．このとき， $t_{n-1,\alpha/2}$を$t$分布表の両側確率で求めると， $\alpha = 0.05$，$n = 10$のとき， $t_{9,0.05/2}$は

$$t_{9,0.05/2} = 2.26$$

よって求める信頼区間は次の不等式を満たします．

$$\vert\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{{S'}^{2}/n}}\vert \leq t_{n-1,\alpha/2}$$

この不等式を$\mu$について解くと

$$\overline X - t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{\frac{{S'}^2}{n}} \leq \mu \leq \overline X + t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{\frac{{S'}^{2}}{n}}$$

を得ます．

統計学演習問題 6

1 ある水域の一定区間における水質BOD(ppm)はほぼ正規分布に従い，その母分散は $\sigma^2 = 6.25(ppm)^2$であることがわかっている．いま$n = 15$個の標本をとり，標本平均 $\bar X = 7.2ppm$を得た．このとき信頼度$95\%$で，この水質の母平均の区間推定をせよ．

2 標本 $145.3, 145.1, 145.4, 146.2$が与えられたとして，母平均が$146$である正規母集団の分散に対する$95\%$信頼区間を求めよう．