重要な標本分布

第2章で，確率分布の基礎となる2項分布と正規分布の話をしました．ここでは，まず，正規分布の性質について考えます．

正規分布の加法性

確率変数$X,Y$が独立で，それぞれ正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2), N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$に従うとき，和$aX+bY$は正規分布

$$N(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^2\sigma_{1}^2 + b^2\sigma_{2}^2)$$

に従う．

定理 3..3  

$X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$は互いに独立で正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$に従えば，

$$\overline{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}}{n} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$

証明 正規分布の加法性より，

$$X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} \sim N(n\mu, n\sigma^2)$$

したがって，

$$\overline{X} = \frac{1}{n}(X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}) \sim N(\mu, \frac{n\sigma^2}{n^2}) = N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$

例題 3..8  

ある年齢の生徒の身長は120cmを平均値として，標準偏差が4.5cmの正規分布に従っているとする．このとき，50人の身長の平均が120.6cmよりも大きくなる確率を求めよ． 解 $X_{i}$をある年齢の生徒の身長とすると， $X_{i} \sim N(120,4.5^2)$．50人の相加平均 $\overline{X}$は定理3.6より $\overline{X} \sim N(120,\frac{4.5^2}{50})$．よって

$$P(\overline{X} > 120.5) = P(Z > \frac{120.5-120}{\frac{4.5}{\sqrt{50}}}) = P(Z > 0.9428)$$

$$= 0.5 - P(0 < Z < 0.9528) = 0.5 - 0.32710 \approx 0.173$$

次に，$X_{i}$が正規分布に従わない場合を考える．

[中心極限定理] $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$が互いに独立で，平均値$\mu$，分散$\sigma^2$の同じ確率分布に従うとする．このとき，$n$が十分大きいならば

$$\overline{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}}{n}$$   近似的に$$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$   に従う

$n > 100$ならば近似度はよくなる．