演習問題7.1

1.: 次の関数はLaplace方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$ を満たすことを示せ．
(a): $\displaystyle{ u(x,y) = x^2 - y^2}$
(b): $\displaystyle{ u(x,y) = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}}$
(c): $\displaystyle{ u(x,y) = ax + by + c}$
(d): $\displaystyle{ u(x,y) = \cos{x}\cosh{y}}$
2.: 次の関数は拡散方程式 $u_{xx} - u_{t} = 0, t > 0$ を満たすことを示せ．
(a): $\displaystyle{ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}}$
(b): $\displaystyle{ u(x,t) = \int_{x/2\sqrt{t}}^{\infty}e^{-\tau^{2}}d\tau}$
(c): $\displaystyle{ u(x,t) = ax + b + c(x^2 + 2t)}$
(d): $\displaystyle{ u(x,t) = e^{-t}\cos{x}}$
3.: 次の関数が解となる偏微分方程式を求めよ．
(a): $\displaystyle{ u(x,y) = \sin(x^{2} - y^{2})}$
(b): $\displaystyle{ u(x,y) = \cos(x^2 + y^2) + x^2}$
4.: $\displaystyle{ f(x^2 + y^2)}$ は $yu_{x} - xu_{y} = 0$ の解であることを示せ．
5.: $\displaystyle{ u(x,y) = f(x+y) + g(x-y)}$ は $u_{xx} - u_{yy} = 0$ の解であることを示せ．
6.: 2次元Laplace方程式を極座標で表わせ．