偏微分方程式の3つの解法(Three methods of solving patial differential equations)

同次の定数係数の偏微分方程式の解法には,次の3つの解法がよく用いられます.まず

$\displaystyle u_{x} + bu_{y} + cu = Q(x,y) $

の形の偏微分方程式は,変数変換 $\xi = x, \eta = bx - y$を用いることにより$u_{y}$の項を落とすことができるので,その解は常微分方程式

$\displaystyle u^{\prime} + cu = Q $

を解くことにより求めることができます.実際,

$\displaystyle \xi = x, \eta = bx - y $

とおくと,

$\displaystyle u(x,y) = U(\xi,\eta) = U(x,bx-y). $

これより,
$\displaystyle u_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + ...
...artial U}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = U_{\xi} + bU_{\eta},$  
$\displaystyle u_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial U}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y} = - bU_{\eta}.$  

よって

$\displaystyle u_{x} + bu_{y} + cu = U_{\xi} + cU = Q(\xi, b\xi - \eta). $

例題 7..5  

$u_{x} + 2u_{y} + u = y$を解け.

$\xi = x, \eta = 2x - y$とおくと

$\displaystyle u_{x} + 2u_{y} + u = U_{\xi} + U = 2\xi - \eta $

となる.これは$\xi$について1階線形なので積分因子 $\mu = e^{\int d\xi} = e^{\xi}$より,

$\displaystyle \frac{d(e^{\xi} U)}{d \xi} = 2\xi e^{\xi} - \eta e^{\xi} $

を得る.ここで両辺を$\xi$で積分すると,
$\displaystyle e^{\xi} U = \int {2\xi e^{\xi} - \eta e^{\xi}}d\xi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(\xi e^{\xi} - e^{\xi}) - \eta e^{\xi} + \phi(\eta)$  
$\displaystyle = e^{\xi}(2\xi - 2 - \eta) + \phi(\eta).$      

よって
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(\xi,\eta) = e^{-\xi}e^{\xi}(2\xi - 2 - \eta) + e^{-\xi}\phi(\eta)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2x - 2 - (2x - y) + e^{-x}\phi(2x-y) = y - 2 + e^{-x}\phi(2x-y) .
\ensuremath{ \blacksquare}$  

次の解法は変数分離法(method of separation of variables)とよばれるもので,$x$の関数$X(x)$$y$の関数$Y(y)$の積の形の解$u(x,y)$を捜す方法です.

例題 7..6  

Laplace方程式 $\Delta_{2}u = 0$を解け.

$u_{xx} + u_{yy} = 0$ $u(x,y) = X(x)Y(y)$を用いて解く.
まず $u_{x} = X^{\prime}(x)Y(y), u_{xx} = X^{\prime\prime}(x)Y(y), u_{y} = X(x)Y^{\prime}(y), u_{yy} = X(x)Y^{\prime\prime}(y)$より

$\displaystyle X^{\prime\prime}(x)Y(y) + X(x)Y^{\prime\prime}(y) = 0 $

となる.これを変数分離すると

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)} = - \frac{Y^{\prime\prime}(y)}{Y(y)} .$

ここで左辺は$y$と独立で右辺は$x$と独立.それが等しいということはともに同じ定数ということがいえる.この定数を$\lambda$とおくと

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} = \lambda,    \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = - \lambda .$

$\lambda > 0$のとき $\lambda = k^{2}  (k > 0)$とおくと

$\displaystyle X = c_{1}e^{kx} + c_{2}e^{-kx},  Y = C_{1}\cos{ky} + C_{2}\sin{ky}. $

$\lambda < 0$のとき $\lambda = - k^{2}  (k > 0)$とおくと

$\displaystyle X = c_{1}\cos{kx} + c_{2}\sin{kx}, Y = C_{1}e^{ky} + C_{2}e^{-ky}. $

$\lambda = 0$のとき

$\displaystyle X = c_{1}x + c_{2},  Y = C_{1}y + C_{2}. $

よってLaplace方程式が解をもつなら解は次のいずれかの形をとる.

$\displaystyle (Ae^{kx} + Be^{-kx})(C\cos{ky} + D\sin{ky})    k > 0,$

$\displaystyle (A\cos{kx} + B\sin{kx})(Ce^{ky} + De^{-ky})    k > 0, $

$\displaystyle (Ax + B)(Cy + D) .
\ensuremath{ \blacksquare}
$

$u(x,y) = X(x)Y(y)$を代入することにより$X(x)$$Y(y)$を分離できる微分方程式を変数分離形(separation of variables)といいます.

例題 7..7  

次の境界値問題を解け.

$\displaystyle u_{xx} + u_{yy} = 0, u(0,y) = u(2,y) = 0, u(x,0) = \sin{\pi x} - 3\sin{5\pi x}, u_{y}(x,0) = 0 .$

$u_{xx} + u_{yy} = 0$よりさきほどの例題の結果が使えます.初期条件$u(x,0)$の形より3つの解の中から

$\displaystyle u(x,y) = (A\cos{kx} + B\sin{kx})(Ce^{ky} + De^{-ky}) $

を選びます.ここで $u(0,y) = 0$より

$\displaystyle A(Ce^{ky} + De^{-ky}) = 0 . $

よって$A = 0$または$C = D = 0$.しかし$C = D = 0$なら $u(x,y) = 0$となるので $A = 0$とおくと

$\displaystyle u(x,y) = B\sin{kx}(Ce^{ky} + De^{-ky}). $

ここで境界条件 $u(2,y) = 0$を用いると

$\displaystyle B\sin{2k}(Ce^{ky} + De^{-ky}) = 0. $

$B = 0$または$C = D = 0$なら $u(x,y) = 0$となるので

$\displaystyle \sin{2k} = 0  $   よって$\displaystyle  k = \frac{n\pi}{2}  (n = 0,1,2,\ldots). $

これより
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\sin{\frac{n\pi x}{2}}(Ce^{\frac{n\pi y}{2}} + De^{-\frac{n\pi y}{2}})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin{\frac{n\pi x}{2}}(ce^{\frac{n\pi y}{2}} + de^{-\frac{n\pi y}{2}}).$  

初期条件 $u_{y}(x,0) = 0$を用いるために両辺を$y$で偏微分すると

$\displaystyle u_{y}(x,y) = \sin{\frac{n\pi x}{2}}(\frac{cn\pi}{2}e^{\frac{n\pi y}{2}} - \frac{dn\pi}{2}e^{-\frac{n\pi y}{2}}). $

初期条件 $u_{y}(x,0) = 0$より

$\displaystyle u_{y}(x,0) = \sin{\frac{n\pi x}{2}}(\frac{cn\pi}{2} - \frac{dn\pi}{2}) = 0. $

よって $c = d = c_{n}$.これよりここまでの条件を満たす解の列

$\displaystyle u_{n}(x,y) = c_{n}\sin{\frac{n\pi x}{2}}(e^{\frac{n\pi y }{2}} + e^{-\frac{n\pi y}{2}}) $

を得る. 最後に初期条件 $u(x,0) = \sin{\pi x} - 3\sin{5\pi x}$を満たすために, $c_{2} = 1/2, c_{10} = -3/2$その他の$c_{n} = 0$とおき,重ね合わせの原理を用いると

$\displaystyle u(x,y) = \sin{\pi x}(\frac{e^{\pi y} + e^{-\pi y}}{2}) - 3\sin{5\pi x}(\frac{e^{5\pi y} + e^{-5\pi y}}{2}).
\ensuremath{ \blacksquare}
$

$\cosh{ky} = (e^{ky} + e^{-ky})/2, \sinh{ky} = (e^{ky} - e^{-ky})/2$を用いると $Ce^{ky} + De^{-ky}$の代わりに $C\cosh{ky} + D\sinh{ky}$が使えます.

次の例題が示すように,変数分離法は変数係数の偏微分方程式にも使えます.

例題 7..8  

$x^{2}u_{xx} + xu_{x} - u_{y} = 0$を解け.

$u(x,y) = X(x)Y(y)$を与えられた方程式に代入すると

$\displaystyle x^{2}X^{\prime\prime}Y + xX^{\prime}Y - xY^{\prime} = 0. $

変数分離すると

$\displaystyle \frac{x^{2}X^{\prime\prime} + xX^{\prime}}{X} = \frac{Y^{\prime}}{Y}. $

左辺と右辺はある定数に等しいはずなので,この定数を$\lambda$とおくと

$\displaystyle x^{2}X^{\prime\prime} + xX^{\prime} - \lambda X = 0,  Y^{\prime} - \lambda Y = 0. $

最初の方程式はCauchy-Eulerの方程式で$x = e^{t}$とおくことにより解が得られる.
$\lambda > 0$のとき $\lambda = k^{2}$とおくと $X = c_{1}x^{k} + c_{2}x^{-k}$,
$\lambda < 0$のとき $\lambda = -k^{2}$とおくと $X = c_{3}\cos{\log{x}} + c_{4}\sin{\log{x}}$,
$\lambda = 0$のときは $X = c_{5}\log{x} + c_{6}$となる.
2つめの方程式は
$\lambda = k^{2}$とおくと $Y = C_{1}e^{k^{2}y}$,
$\lambda = -k^{2}$とおくと $Y = C_{2}e^{-k^{2}y}$,
$\lambda = 0$のときは$Y = C_{3}$となる. したがって,

$\displaystyle \{e^{k^{2}y}x^{\pm k}, e^{-k^{2}y}\cos{(k \log{x})}, e^{-k^{2}y}\sin{(k \log{x})}, \log{x}, 1 \}$

の一次結合が解となる. $ \blacksquare$

偏微分方程式のすべてが変数分離形になるわけではありません.たとえば

$\displaystyle u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0 $

はそのひとつです.そこでそんなとき用いられるのがD'Alembert法とよばれる方法で,2階定数係数偏微分方程式

$\displaystyle Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} = G(x,y) $

において,変数変換 $v = x + my, w = x + ny$とおくことにより,$u(x,y)$$U(v,w)$ $v(x,y),w(x,y)$の合成関数とし,$U_{vv}$$U_{ww}$の係数が0になるように$m$$n$を選ぶことにより $U_{vw} = G(v,w)$を求めるという方法です.次の例題で詳しく示してみましょう.

例題 7..9  

$u_{xx} - u_{xy} - 2u_{yy} = e^{x+y}$を解け.

$v = x + my, w = x + ny$とおくと

$\displaystyle u(x,y) = U(v(x,y),w(x,y)) = U(x+my,x+ny).$

これより
$\displaystyle u_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} = U_{v} + U_{w},$  
$\displaystyle u_{xx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{vv}v_{x} + U_{vw}w_{x} + U_{wv}v_{x} + U_{ww}w_{x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{vv} + U_{vw} + U_{wv} + U_{ww} = U_{vv} + 2U_{vw} + U_{ww}.$  

同様にして,
$\displaystyle u_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial U}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial y} = mU_{v} + nU_{w},$  
$\displaystyle u_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle mU_{vv} + (m+n)U_{vw} + nU_{ww},$  
$\displaystyle u_{yy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m^{2}U_{vv} + 2mnU_{vw} + n^{2}U_{ww}.$  

これを元の微分方程式に代入すると

$\displaystyle U_{vv}(1-m-2m^{2}) + U_{vw}(2-m-n-4mn) + U_{ww}(1-n-2n^{2}) = e^{x+y}. $

ここで$m,n$を二次方程式 $1-t-2t^{2}$の異なる実数解とすると $m = -1, n = 1/2$. これより $\frac{9}{2}U_{vw} = e^{x+y} = e^{(4w-v)/3}$を得る.これを解くと

$\displaystyle U_{v}(v,w) = \frac{2}{9}\int e^{(4w-v)/3}dw = \frac{1}{6}e^{(4w-v)/3} + c(v). $

$v$で積分すると

$\displaystyle U(v,w) = \int (\frac{1}{6}e^{(4w-v)/3} + c(v))dv = -\frac{1}{2}e^{(4w-v)/3} + g(v) + h(w),  g,h \in C^{2}. $

よって
$\displaystyle u(x,y) = U(v,w)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}e^{(4w-v)/3} + g(v) + h(w)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}e^{x+y} + g(x - y) + h(x + \frac{1}{2} y).
\ensuremath{ \blacksquare}$  

例題 7..10  

$D'lembert$法を用いて波動方程式 $u_{xx} = (1/c^{2})u_{tt} ( 0 < x < L, t > 0)$の解で初期条件

$\displaystyle u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = 0 $

と境界条件

$\displaystyle u(0,t) = u(L,t) = 0 $

を満たすものを求めよ.

$v = x + my, w = x + ny$とおくと$m,n$は二次方程式 $1 - t^{2}/c^{2} = 0$の解になるので $m = c, n = -c$.よって

$\displaystyle u(x,y) = g(x + ct) + h(x - ct). $

ここで初期条件を用いると
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle g(x) + h(x) = f(x),$  
$\displaystyle u_{t}(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle cg^{\prime}(x) - ch^{\prime}(x) = 0.$  

これより $g^{\prime}(x) = h^{\prime}(x)$.よって $g(x) = h(x) + k$,ただし$k$はある定数.この$g(x)$を上の2つの式の最初のほうに代入すると

$\displaystyle h(x) + k + h(x) = f(x) $

となる.これより
$\displaystyle h(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f(x) - k}{2},$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f(x) + k}{2}.$  

したがって

$\displaystyle u(x,t) = \frac{f(x+ct) + f(x-ct)}{2}.
\ensuremath{ \blacksquare}
$



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