演習問題7.3.3

1.

表面が断熱されている長さ2mの細長い棒の定常温度分布が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x,& 0 < x < 1\\ 2-x,& 1 < x < 2 \end{array}\right.$$

で与えられ，時間$t=0$のとき，両端が温度$0^{\circ}$度の冷水の中につけられた．このとき棒の温度$u(x,t)$を求めよ．

2.

1.と同じ条件で定常温度分布が $f(x) = x(2-x), 0 < x < 2$で与えられているときの温度$u(x,t)$を求めよ．

3.

長さ1mの細長い棒の端が $10^{\circ}$と $90^{\circ}$に保たれているとき，定常温度分布を求めよ．

4.

(a)

次の熱伝導方程式の境界値問題

$$\begin{array}{l} u_{xx} = ku_{t} -\infty < x < \infty, ... ...y \mbox{のとき} u(x,t)\mbox{有界}\\ u(x,0) = f(x) \end{array}$$

にラプラス変換を施し， $u(x,t)e^{-st} \rightarrow 0$を仮定すると次の微分方程式を得ることを示せ．

$$U_{xx}(x,s) - ksU(x,s) = -kf(x), - \infty < x < \infty.$$

(b)

$$U(x,s) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{s}}\int_{0}^{\infty}e^{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

$$+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{s}}\int_{-\infty}^{0}e^{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

$$- \sqrt{\frac{k}{s}}\int_{0}^{x}f(y)\sinh{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

は上の境界値問題の解であることを示せ．