波動方程式(Wave equation)

次に水平に張られた弾性弦が微小振動するとき，位置 $x$

，時刻

において弦の垂直方向の変位 $u(x,t)$

がみたす偏微分方程式について考えてみましょう．

図: 弾性弦の振動
$\includegraphics[width=8cm,scale=1.1]{DFQ/Fig2-5.eps}$

まず2点間に張った弦を考えます．弦をはじいて振動させます．このとき振幅は小さいものとします．また弦の張力は他の力に比べて大きいものとします．振動している弦の方程式をみつけるため $x_{1}$ から $x_{1}+ \Delta x$ の間の弦の小さな部分について調べます．

水平方向には動きがないので，水平方向の力はつりあっています．よって

$\displaystyle \vert T_{1}\vert\cos{\alpha} = \vert T_{2}\vert\cos{\beta} = T =$ 定数 $\displaystyle ($ 水平方向 $\displaystyle ) .$

また垂直方向の力の差は，運動方程式より質量 $\rho \Delta s$ と加速度 $u_{tt}$ の積で表わされます．ただし $\rho$ は単位長での質量， $\Delta s$ はいま考えている弦の小さな部分の長さ．よって

$\displaystyle \vert T_{2}\vert\sin{\beta} - \vert T_{1}\vert\sin{\alpha} = \rho \Delta s u_{tt} ($ 垂直方向 $\displaystyle ) .$

ここで振動が小さいことに注意すると， $\Delta s \approx \Delta x$ ．両辺を $T$

で割ると

$\displaystyle \frac{\rho \Delta x}{T} u_{tt} \approx \tan{\beta} - \tan{\alpha}.$

両辺を $\Delta x$ で割り，接線の傾きと微分係数は等しいことを用いると，

$\displaystyle \frac{\rho}{T}u_{tt} \approx \frac{u_{x}(x_{1}+\Delta x , t) - u_{x}(x_{1},t)}{\Delta x}.$

ここで $\Delta x \rightarrow 0$ とすると，

$\displaystyle \frac{\rho}{T} u_{tt} = u_{xx}$ または $\displaystyle u_{tt} = c^{2}u_{xx}.$

これは一次元波動方程式(one dimensional wave equation)とよばれます．

初期条件は $t=0$ のときの弦の形状および初速度を指定する条件です．たとえば，初期の形状が $y = f(x)$ である弦に初速度 $g(x)$ を与えた場合には，初期条件は

$\displaystyle u(x,0) = f(x) , u_{t}(x,0) = g(x)$

となります．また弦が有限な長さ $L$

をもつとき，境界条件については，たとえば次のものが考えられます．

(i) 弦の両端を固定するとき

$\displaystyle u(0,t) = 0, u(L,t) = 0.$

(ii) 弦の両端点が振動方向に自由に動けるとき

$\displaystyle u_{x}(0,t) = 0, u_{x}(L,t) = 0.$

薄い膜の振動は，膜が静止の状態では $xy$ 平面に位置し，時刻 $t$ における垂直方向の変位が $u(x,y,t)$ であるとすると，次の二次元波動方程式(two dimensional wave equation)で表わされます．

$\displaystyle u_{tt} = c^{2}(u_{xx} + u_{yy}).$

この方程式を極座標 $(r,\theta)$ で表わすと，次のようになります．

$\displaystyle u_{tt} = c^{2}(u_{rr} + \frac{1}{r}u_{r} + \frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}).$

例題 7..12

両端が固定されている長さ $L$

の水平に張られた弾性弦の初期形状が $f(x)$

で与えられているとき，この弦の垂直方向の変位を求めよ．

解まず弾性弦の垂直方向の変位を $u(x,t)$ とすると，は一次元波動方程式 $u_{xx} = (1/c^{2})u_{tt} ( 0 < x < L, t > 0)$ を満たす．次に，初期条件は

$\displaystyle u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = 0$

と表わせる．また両端が固定されているので，境界条件は

$\displaystyle u(0,t) = u(L,t) = 0．$

ここでは変数分離法を用いて一次元波動方程式を解く． $u(x,t) = X(x)T(t)$

とおき，一次元波動方程式に代入すると

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T} = \lambda .$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$\displaystyle X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0 .$

ここで

の境界条件を用いると，すべての $t$

に対して

$\displaystyle u(0,t) = X(0)T(t) = 0,$

$\displaystyle u(L,t) = X(L)T(t) = 0$

となる．これは

が0でないならば，

を意味する．よってこれよりSturn-Liouville問題

$\displaystyle X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, X(0) = X(L) = 0$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$ ，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L^{2})}$ をもっている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L$ のとき，

$\displaystyle T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda_{n}T = 0$

の一般解は

$\displaystyle T_{n}(t) = C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}}$

で与えられる．

$X_{n}(x)$ と $T_{n}(t)$ の積

$\displaystyle u_{n}(x,t) = \sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}})$

は一次元波動方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}}).$

ここで初期条件

より，

$\displaystyle u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}} \equiv f(x).$

この条件が満たされるためには，この級数が $f(x)$

に収束するように $C_{n}$ を選ばなければならない．ところがこれは皆さんがよく知っている関数 $f(x)$

の

でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$\displaystyle C_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$

で与えられる．

$D_{n}$ を見つける方法もほとんど同じである． $u(x,t)$ が $t$ について項別微分可能であるとすると，

$\displaystyle 0 \equiv u_{t}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\pi c}{L}\sin{\frac{n\pi x}{L}}.$

これより， $(n\pi c/L)D_{n}$ は0のフーリエ正弦級数となるので

$\displaystyle D_{n} = \frac{2}{n\pi c}\int_{0}^{\infty}0 \sin{\frac{n\pi x}{L}} dx = 0$

で与えられる． $\blacksquare$

例題 7..13

四角いドラムの薄い膜の振動は次の境界値問題として表わされる．

$\displaystyle u_{tt} = c^{2}\Delta_{2}u ,$		$\displaystyle 0 < x < 1, 0 < y < 1, t > 0$
$\displaystyle u(0,y,t) = 0,$		$\displaystyle u(1,y,t) = 0, u(x,0,t) = 0 , u(x,1,t) = 0$
$\displaystyle u(x,y,0) = f(x,y),$		$\displaystyle u_{t}(x,y,0) = g(x,y)$

この境界値問題を初期速度 $g(x,y) = 0$

のとき解け．

解変数分離法を用い， $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$ を仮定し，これを二次元波動方程式に代入すると

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T}$

となる．ここで左辺は $t$

と独立であり，右辺は $x, y$

と独立なので，両辺とも定数となり，この定数を $\lambda$ とおくと

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T} = \lambda.$

これより

$\displaystyle \frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} + \lambda$

となり，ここでも左辺と右辺は定数となるので，この定数を $\alpha$ とおくと次の3つの微分方程式を得る．

$\displaystyle X^{\prime\prime} - \alpha X = 0 ,$

$\displaystyle Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0 ,$

$\displaystyle T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0 ,$

ただし， $\beta = \lambda - \alpha$ ．ここで境界条件

$\displaystyle u(0,y,t) = u(1,y,t) = 0 , u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0$

を用いると，Sturn-Liouville問題

$\displaystyle X^{\prime\prime} - \alpha X = 0, X(0) = X(1) = 0,$

$\displaystyle Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0, Y(0) = Y(1) = 0$

が得られる．この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ

$\displaystyle \alpha_{m}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -m^{2}\pi^{2} , X_{m}(x) = \sin{m\pi x} (m = 1,2,3,\ldots),$
$\displaystyle \beta_{n}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -n^{2}\pi^{2} , Y_{n}(x) = \sin{n\pi y} (n = 1,2,3,\ldots)$

で与えられる．この $\alpha_{m}, \beta_{n}$ に対して， $T$

は

$\displaystyle T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct + D_{mn}\sin{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct .$

ここで初期条件 $u_{t}(x,y,0) = 0$ より $T^{\prime}(0) = 0$ となるので $D_{mn} = 0$ ．よって

$\displaystyle T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct .$

こうして，境界条件と初期条件を満たす解の列

$\displaystyle u_{mn}(x,y,t) = \sin{m\pi x}\sin{n\pi y}C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct$

が得られる．これらを重ね合わせて

$\displaystyle u(x,y,t) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y}C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct$

が得られる．初期条件 $u(x,y,0) = f(x,y)$

が満たされるためには

$\displaystyle u(x,y,0) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}C_{mn}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y} = f(x,y)$

が成り立たなければならない．この式から $C_{mn}$ を定めよう．

$\displaystyle C_{m} = \sum_{n=1}^{\infty}C_{mn}\sin{n\pi y}$

とおくと

$\displaystyle f(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty}C_{m}\sin{m\pi x}$

と表わせる．これらはどちらもフーリエ正弦級数なので，その係数は

$\displaystyle C_{mn}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2}{1}\int_{0}^{1}C_{m}\sin{n\pi y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2}{1}\int_{0}^{1}[\frac{2}{1}\int_{0}^{1}f(x,y)\sin{m\pi x}dx]\sin{n\pi y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)\sin{n\pi x}\sin{n\pi y}dxdy .$

この $C_{mn}$ を $u(x,y,t)$

に代入すると解が得られる． $\blacksquare$