高次導関数(higher-order derivatives)

$y = f(x)$ の導関数 $y^{\prime} = f^{\prime}(x)$ が微分可能ならば，その導関数 $(y^{\prime})^{\prime}$ が考えられます．これを $y = f(x)$ の 第2次導関数(2nd derivative) といい，

$$y^{\prime\prime}, f^{\prime\prime}(x), \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, D^{2}f(x)$$

などの記号で表わします．この第2次導関数が微分可能ならば，さらに，第3次導関数を考えることができます．このようにして， $y = f(x)$ を次々に $n$回微分することにより第n次導関数(nth derivative)が定義されます．第n次導関数 $f^{(n)}(x)$ が存在するとき， $f(x)$ は n回微分可能(n times differentiable) であるといいます．さらに， $f^{(n)}(x)$ が連続のとき， $C^{n}$ 級であるといいます．また，すべての自然数 $n$ について $f^{(n)}(x)$ が存在するとき，無限回微分可能(infinitely many times differentiable)あるいは $C^{\infty}$ 級であるといいます．

例題 2..18  

次の関数の第2次導関数を求めよ．

$$y(t) = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + y_{0}$$

解答 物体を地表面の近くで自然落下させ，空気抵抗がほとんどないとすると，時刻$t$における物体の位置$y(t)$はGalileoの公式より，

$$y(t) = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + y_{0}$$

で与えられます．

$y(0) = y_{0}$より，$y_{0}$は時刻$t = 0$の時の物体の高さを表します．これを初期位置(initial position)といいます．この関数を微分すると，

$$y'(t) = -gt + v_{0}$$

となります．ここで， $y'(0) = v_{0}$より，$v_{0}$は時刻$t = 0$の時の物体の速度を表します．これを初速度(initial velocity)といいます．第2次導関数を求めると，

$$y''(t) = -g$$

となります．ここで， $y''(0) = -g$より，$-g$は時刻$t = 0$の時の物体の加速度を表します．ここでの負の符号は方向を表しています．定数$g$を重力加速度定数(gravitational constant)といいます． $\blacksquare$

第n次導関数に関して次の定理が成り立ちます．

定理 2..6  

$f(x),g(x)$ が $C^{n}$ 級のとき，次の公式が成り立つ．

$${(1) \{f(x) \pm g(x)\}^{(n)} = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)}$$

$${(2) \ \{cf(x)\}^{(n)} = cf^{(n)}(x)}$$ (c : 定数)

$${(3) \{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)}$$

$${(4) \ \frac{dt}{dx} = c\ \mbox{定数} \Rightarrow \frac{d^n f(t)}{dx^n} = c^n \frac{d^n f(t)}{dt^n}}$$

上の定理の(3)は Leibnizの定理(Leibniz theorem) といい， $${\binom{n}{i}}$$ は $${\frac{n!}{i!(n-i)!}}$$ を表わします(例題1.6参照)．

証明 (3)の証明

$$(f(x)g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$$

よりLeibnizの定理は $n = 1$ のときに成り立ちます．次に $n = k$ のときに成り立つと仮定し， $n = k+1$ のときを考えましょう．

$$(f(x)g(x))^{(k+1)} = [(f(x)g(x))^{(k)}]^{\prime} = [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i)}(x)]^{\prime}$$

$$= \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i+1)}(x)$$

$$(f(x)g(x))^{(k+1)} = [(f(x)g(x))^{(k)}]^{\prime} = [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i)}(x)]^{\prime}$$

$$= \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i+1)}(x)$$

$$= \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=1}^{k+1}\binom{k}{i-1}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)$$

$$= f^{(k+1)}(x)g(x) + \sum_{i=1}^{k}(\binom{k}{i} + \binom{k}{i-1})f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + f(x)g^{(k+1)}(x)$$

$$= \sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)$$

よって，帰納法より

$$\{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$$

(1),(2),(4)の証明は各自に任せます． $\blacksquare$

例題 2..19  

次の関数の第n次導関数を求めてみましょう．
(1) $${f(x) = \sin{x}}$$ (2) $${f(x) = \sin{2x}}$$

解 (1)

$$f^{\prime}(x) = \cos{x} = \sin{(x + \frac{\pi}{2})}$$

$$f^{\prime\prime}(x) = -\sin{x} = \sin{(x + \pi)}$$

$$f^{\prime\prime\prime}(x) = -\cos{x} = \sin{(x + \frac{3\pi}{2})}$$

より $f^{(n)}{x} = \sin{(x + \frac{n \pi}{2})}$ が帰納法で示せます． $\blacksquare$

(2) $t = 2x$とおくと， $\frac{dt}{dx} = 2\$   定数．したがって，

$$\frac{d^n \sin{2x}}{dx^n} = 2^n \frac{d^n \sin{t}}{dt^n} = 2^n \sin(t + \frac{n \pi}{2}) = 2^n \sin(2x + \frac{n \pi}{2}).$$

例題 2..20  

$${f(x) = \frac{1}{1 - x^{2}}}$$ の第n次導関数を求めてみましょう．

解 まず，

$$\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x})$$

と分解し， $${(\frac{1}{1+x})^{(n)}}$$ と $${(\frac{1}{1-x})^{(n)}}$$ の第n次導関数を計算するのがよい． $(\frac{1}{1-x})^{\prime} = (1 - x)^{-2}, (\frac{1}{1-x})^{\prime\prime} = 2(1 - x)^{-3}$より， $(\frac{1}{1-x})^{(n)} = n!(1 - x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$となることが帰納法により示せる．次に， $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1 - (-x)}$を考える．$t = -x$とおくと， $\frac{dt}{dx} = -1\$   定数より，

$$(\frac{1}{1+x})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}} .$$

したがって，

$$\left(\frac{1}{1 - x^{2}}\right)^{(n)} = \frac{1}{2}\left((-1)^{n}n!(1 + x)^{-(n+1)} + n!(1 - x)^{-(n+1)}\right) \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 2..21  

$${h(x) = x^n e^{-x}}$$ の第n次導関数を求めてみましょう．

解 $g(x) = x^n, f(x) = e^{-x}$ とおくと，

$$g^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n - k}, f^{(k)}(x) = (-1)^{k}e^{-x} (k = 0,1,2,\ldots,n)$$

したがって，Leibnizの定理より，

$$h^{(n)}(x) = (f(x)g(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{n-k} e^{-x} \frac{n!}{k!} x^{n-k}$$

$$= (-1)^{n} n! \left(x^n - x^{n-1} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{n!}\right) \ensuremath{ \blacksquare}$$

確認問題

1.

物体の運動が次の式で表されるとき，初期値$t_{0} = 0$での位置，速度，加速度と速さを求めよう．

(a) $${y(t) = 4 + 3t - t^{2}}$$ (b) $${y(t) = t^{3} - 6t}$$ (c) $${y(t) = \frac{18}{t+2}}$$

2.

次の関数の第2次導関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}}$$ (b) $${f(x) = x\log{x}}$$ (c) $${f(x) = e^{x} \sin{x}}$$

演習問題

1.

次の公式が成り立つことを示そう．

(a) $${(\sin{x})^{(n)} = \sin{(x + \frac{n \pi}{2})}}$$ (b) $${(\cos{x})^{(n)} = \cos{(x + \frac{n \pi}{2})}}$$

(c) $${\left[(1 + x)^{\alpha}\right]^{(n)} = \alpha(\alpha -1)\cdots(\alpha - n + 1)(1+x)^{\alpha - n}}$$

2.

次の関数の第$n$次導関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \frac{x^{3}}{1 - x}}$$ (b) $${f(x) = x^{2} \sin{x}}$$ (c) $${f(x) = e^{x} \sin{x}}$$