高次導関数(higher-order derivatives)

の導関数 $y^{\prime} = f^{\prime}(x)$ が微分可能ならば，その導関数 $(y^{\prime})^{\prime}$ が考えられます．これをの 第2次導関数(2nd derivative) といい，

$\displaystyle y^{\prime\prime}, f^{\prime\prime}(x), \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, D^{2}f(x)$

などの記号で表わします．この第2次導関数が微分可能ならば，さらに，第3次導関数を考えることができます．このようにして，

を次々に

回微分することにより第n次導関数(nth derivative)が定義されます．第n次導関数 $f^{(n)}(x)$ が存在するとき，

は n回微分可能(n times differentiable) であるといいます．さらに， $f^{(n)}(x)$ が連続のとき， $C^{n}$ 級であるといいます．また，すべての自然数

について $f^{(n)}(x)$ が存在するとき，無限回微分可能(infinitely many times differentiable)あるいは $C^{\infty}$ 級であるといいます．

例題 2..18

次の関数の第2次導関数を求めよ．

$\displaystyle y(t) = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + y_{0}$

解答物体を地表面の近くで自然落下させ，空気抵抗がほとんどないとすると，時刻における物体の位置はGalileoの公式より，

$\displaystyle y(t) = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + y_{0}$

で与えられます．

$y(0) = y_{0}$ より， $y_{0}$ は時刻の時の物体の高さを表します．これを初期位置(initial position)といいます．この関数を微分すると，

$\displaystyle y'(t) = -gt + v_{0}$

となります．ここで， $y'(0) = v_{0}$ より， $v_{0}$ は時刻

の時の物体の速度を表します．これを初速度(initial velocity)といいます．第2次導関数を求めると，

$\displaystyle y''(t) = -g$

となります．ここで，

より，

は時刻

の時の物体の加速度を表します．ここでの負の符号は方向を表しています．定数

を重力加速度定数(gravitational constant)といいます． $\blacksquare$

第n次導関数に関して次の定理が成り立ちます．

定理 2..6

が $C^{n}$ 級のとき，次の公式が成り立つ．

$\displaystyle{(1) \{f(x) \pm g(x)\}^{(n)} = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)}$

$\displaystyle{(2) \ \{cf(x)\}^{(n)} = cf^{(n)}(x)}$ (c : 定数)

$\displaystyle{(3) \{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)}$

$\displaystyle{(4) \ \frac{dt}{dx} = c\ \mbox{定数} \Rightarrow \frac{d^n f(t)}{dx^n} = c^n \frac{d^n f(t)}{dt^n}}$

上の定理の(3)は Leibnizの定理(Leibniz theorem) といい， $\displaystyle{\binom{n}{i}}$ は $\displaystyle{\frac{n!}{i!(n-i)!}}$ を表わします(例題1.6参照)．

証明 (3)の証明

$\displaystyle (f(x)g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$

よりLeibnizの定理は

のときに成り立ちます．次に

のときに成り立つと仮定し，

のときを考えましょう．

$\displaystyle (f(x)g(x))^{(k+1)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle [(f(x)g(x))^{(k)}]^{\prime} = [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i)}(x)]^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i+1)}(x)$

$\displaystyle (f(x)g(x))^{(k+1)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle [(f(x)g(x))^{(k)}]^{\prime} = [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i)}(x)]^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k-i)}(x)g^{(i+1)}(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + \sum_{i=1}^{k+1}\binom{k}{i-1}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle f^{(k+1)}(x)g(x) + \sum_{i=1}^{k}(\binom{k}{i} + \binom{k}{i-1})f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x) + f(x)g^{(k+1)}(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}f^{(k+1-i)}(x)g^{(i)}(x)$

よって，帰納法より

$\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$

(1),(2),(4)の証明は各自に任せます． $\blacksquare$

例題 2..19

次の関数の第n次導関数を求めてみましょう．
(1) $\displaystyle{f(x) = \sin{x}}$ (2) $\displaystyle{f(x) = \sin{2x}}$

解 (1)

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos{x} = \sin{(x + \frac{\pi}{2})}$
$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\sin{x} = \sin{(x + \pi)}$
$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\cos{x} = \sin{(x + \frac{3\pi}{2})}$

より $f^{(n)}{x} = \sin{(x + \frac{n \pi}{2})}$ が帰納法で示せます． $\blacksquare$

(2) $t = 2x$ とおくと， $\frac{dt}{dx} = 2\$ 定数．したがって，

$\displaystyle \frac{d^n \sin{2x}}{dx^n} = 2^n \frac{d^n \sin{t}}{dt^n} = 2^n \sin(t + \frac{n \pi}{2}) = 2^n \sin(2x + \frac{n \pi}{2}).$

例題 2..20

$\displaystyle{f(x) = \frac{1}{1 - x^{2}}}$ の第n次導関数を求めてみましょう．

解まず，

$\displaystyle \frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x})$

と分解し， $\displaystyle{(\frac{1}{1+x})^{(n)}}$ と $\displaystyle{(\frac{1}{1-x})^{(n)}}$ の第n次導関数を計算するのがよい． $(\frac{1}{1-x})^{\prime} = (1 - x)^{-2}, (\frac{1}{1-x})^{\prime\prime} = 2(1 - x)^{-3}$ より， $(\frac{1}{1-x})^{(n)} = n!(1 - x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ となることが帰納法により示せる．次に， $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1 - (-x)}$ を考える．

とおくと， $\frac{dt}{dx} = -1\$ 定数より，

$\displaystyle (\frac{1}{1+x})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}} .$

したがって，

$\displaystyle \left(\frac{1}{1 - x^{2}}\right)^{(n)} = \frac{1}{2}\left((-1)^{n}n!(1 + x)^{-(n+1)} + n!(1 - x)^{-(n+1)}\right) \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 2..21

$\displaystyle{h(x) = x^n e^{-x}}$ の第n次導関数を求めてみましょう．

解 $g(x) = x^n, f(x) = e^{-x}$ とおくと，

$\displaystyle g^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n - k}, f^{(k)}(x) = (-1)^{k}e^{-x} (k = 0,1,2,\ldots,n)$

したがって，Leibnizの定理より，

$\displaystyle h^{(n)}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (f(x)g(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{n-k} e^{-x} \frac{n!}{k!} x^{n-k}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-1)^{n} n! \left(x^n - x^{n-1} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{n!}\right) \ensuremath{ \blacksquare}$

確認問題

1.: 物体の運動が次の式で表されるとき，初期値 $t_{0} = 0$ での位置，速度，加速度と速さを求めよう．
(a) $\displaystyle{y(t) = 4 + 3t - t^{2}}$ (b) $\displaystyle{y(t) = t^{3} - 6t}$ (c) $\displaystyle{y(t) = \frac{18}{t+2}}$
2.: 次の関数の第2次導関数を求めよう．
(a) $\displaystyle{f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = x\log{x}}$ (c) $\displaystyle{f(x) = e^{x} \sin{x}}$