微分法(Differentiation Formulas)

微分公式を学んだだけでも，かなりの関数の導関数を求めることができるようになりました．しかし， $y = (x^3 + 1)^{10}$ のような関数の導関数を求めるとき，積の微分法を用いて，微分していたら大変面倒です．そこで一工夫をしてみましょう．まず， $y = (x^3 + 1)^{10}$ を分解すると $y = (x^3 + 1)^{10}$ は $u = g(x) = x^3 + 1$ と $y = f(u) = u^{10}$ の合成関数でできていることがわかります．そこで $y$ の微分 $dy$ と $u$ の微分 $du$ を求めると，

$$dy = f^{\prime}(u)du = 10u^{9}du , du = g^{\prime}(x)dx = 3x^2 dx$$

となり，これより

$$dy = 10u^{9}du = 10(x^3 + 1)^9 \cdot 3x^2 dx$$

となります．これが合成関数の微分法です．

定理 2..3  

[合成関数の微分法] $y = f(u), u = g(x)$ がそれぞれ$u,x$ の関数として微分可能ならば，合成関数 $y = f(g(x))$ も $x$ の関数として微分可能で，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

が成り立つ．

証明 $\Delta x\neq 0$とすると，

$$\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u), \Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$$ (2.1)

ここで， $\Delta x \to 0$のとき， $\Delta y \to 0$と $\Delta u \to 0$に注意する． $\Delta u \neq 0$のとき， $${ \varepsilon = \frac{\Delta y}{\Delta u} -\frac{dy}{du}}$$とおくと， $\Delta u \to 0$のとき， $\varepsilon \to 0$となり，

$$\Delta y = \frac{dy}{du}\Delta u + \varepsilon \Delta u$$ (2.2)

つぎに， $\Delta u = 0$とすると，式(2.1)より $\Delta y = 0$となるので，この場合は $\varepsilon = 0$と定義する．この結果，式(2.2)は $\Delta u \neq 0$でも $\Delta u = 0$でも成り立つ． 式(2.2)を $\Delta x\neq 0$で割り， $\Delta x \to 0$とすると，

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \... ...\Delta x \to 0}\varepsilon \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$$

$$= \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} + 0\cdot \frac{du}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

$\blacksquare$

例題 2..11  

$${y = \cos{(x^2 + x)}}$$ を微分してみましょう．

解 まず， $\cos{(x^2 + x)}$ を分解すると $u = x^2 + x$ と $y = \cos{u}$ となります．よって

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = -\sin{u}(2x + 1) = -(2x+1) \sin{(x^2 + x)}$$

となります． $\blacksquare$

例題 2..12  

$${y = x^{\frac{m}{n}}, \ n,m}$$ 整数 を微分してみましょう．

解 まず，両辺を $n$ 乗すると

$$y^{n} = x^{m}$$

次に， 両辺を $x$ について微分すると，左辺は

$$\frac{d(y^{n})}{dx} = \frac{d(y^{n})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = ny^{n-1}\cdot y^{\prime}$$

となり，また，右辺は

$$\frac{d(x^{m})}{dx} = mx^{m-1}$$

となります．よって，

$$ny^{n-1} \cdot y^{\prime} = m x^{m-1}$$

これより

$$y^{\prime} = \frac{m}{n} \cdot \frac{x^{m-1}}{y^{n-1}} = \frac{m}... ...ot \frac{x^{m}}{x^{n}} \cdot x^{\frac{m}{n}} = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} - 1}$$

となります． $\blacksquare$

$y = \sin^{-1}{x}$ のように $y = \sin{x}$ の逆関数の導関数を求める必要もでてきます．そんなとき，もとの関数 $y = \sin{x}$ の導関数を使えるような気がします．実際，逆関数の導関数を求めるときには，次の微分法を用います．

定理 2..4  

[逆関数の微分法] ある区間で $y = f(x)$ は微分可能で $f^{\prime}(x) \neq 0$ とする．もし， $y = f(x)$ の逆関数 $x = f^{-1}(y)$ が存在するならば，

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$$

である．

証明 $x_{0} = f^{-1}(y_{0})$ とおくと

$$\frac{dx}{dy} = \lim_{y \rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y) - f^{-1... ... \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{x - x_{0}}{f(x) - f(x_{0})} = \frac{1}{dy/dx}$$

である． $\blacksquare$

例題 2..13  

逆関数の微分法を用いて $${y = \sin^{-1}(x)}$$ の導関数を求めてみましょう．

解 まず， $y = \sin^{-1}(x)$ とは， $x = \sin{y}$ で $y$ の主値が $-1 \leq x \leq 1$, $${-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}}$$ のことでした．ここで $\sin{x}$の導関数なら知っているので， $x = \sin{y}$ の両辺を $y$ について微分すると，

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d(\sin{y})}{dy} = \cos{y}$$

$${-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}}$$ では $\cos{y} \geq 0$ であるので，

$$\cos{y} = \sqrt{1 - \sin^{2}{y}} = \sqrt{1 - x^{2}}$$

よって逆関数の微分法より

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

となります． $\blacksquare$

例題 2..14  

逆関数の微分法になれるために $${y = \log{\vert x\vert}}$$ の導関数も求めてみましょう．

解 まず $x > 0$ のときを考えてみましょう．$x > 0$ のとき，

$$y = \log{\vert x\vert} = \log{x} \Leftrightarrow x = e^{y} (x > 0, -\infty < y < \infty)$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{x}$$

となります．

次に， $x < 0$ のとき， $y = \log{\vert x\vert} = \log{(-x)}$．そこで $u = -x$ とおくと， $u > 0$ となり，合成関数の微分法より

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}(-1) = \frac{1}{-x}(-1) = \frac{1}{x}$$

よって，いずれの場合も

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$$

となります． $\blacksquare$

対数微分法

関数が複雑な形で与えられているとき，微分を行う前に少し簡単な形に直しておきたいことがあります．そんなときに用いると便利なものに対数微分法とよばれるものがあります．

例題 2..15  

$${y = x^{2}\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}}$$ を微分してみましょう．

解 まず，両辺に対数をとると，

$$\log{y} = 2\log{(x)} + \frac{1}{2}\{\log{(1+x^{2})} - \log{(1-x^{2})}\}$$

となります．次に，この両辺を $x$ で微分すると例題2.2より

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2}\{\frac{2x}{1+x^{2}} - \frac{-2x}{1-x^{2}} \}$$

$$= \frac{2}{x} + \frac{2x}{(1+x^{2})(1-x^{2})}$$

したがって，

$$y^{\prime} = y\left(\frac{2(1+x^{2}-x^{4})}{x(1+x^{2})(1-x^{2})}\right)$$

$$= x^{2}\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}\left(\frac{2(1+x^{2}-x^{4})}{... ...= \frac{2x(1+x^{2}-x^{4})}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{4}}} \ensuremath{ \blacksquare}$$

このように両辺の対数をとって微分する方法を 対数微分法(logarithmic differentiation) といいます．

$y = x^{n}$ の $n$ が整数のときの導関数は，例題2.1 で求めました．しかし， $y = x^{\alpha}$ の $\alpha$ が実数のときの導関数は例題2.1 で用いた方法では求められません(なぜでしょう?)．しかしもう大丈夫です．なぜなら私たちには対数微分法があるからです．

例題 2..16  

対数微分法を使って $${y = x^{\alpha}}$$ の導関数を求めてみましょう．

解 両辺の対数をとると．

$$\log{y} = \alpha \log{x}$$

この両辺を $x$ で微分すると，

$$\frac{1}{y}y^{\prime} = \alpha \frac{1}{x}$$

よって，

$$y^{\prime} = y ( \alpha \frac{1}{x} ) = x^{\alpha}( \alpha \frac{1}{x} ) = \alpha x^{\alpha - 1}$$

つまり， $y = x^{\alpha}$ の導関数は $y = x^{n}$ のときと同じ形をとることがわかりました． $\blacksquare$

ここまでの例題で求めた導関数は微分計算の基礎となるものです．次の例題の後にまとめておきますので，活用して下さい．

単位円上の点 $(x,y)$ を $(x,y) = (\cos{t},\sin{t})$ と表わし $t$ を時間と考えれば $(\cos{t},\sin{t})$ は時刻 $t$ における物体の位置と考えられます．このときの $t$ のことを 媒介変数(parameter) といいます．このように媒介変数を用いて表わされた関数の微分を行うには，次のような方法があります．

定理 2..5  

[媒介変数表示による関数の微分法] $x = f(t), y = g(t)$ がともに区間 $I$ で微分可能で，しかも $f^{\prime}(t) \neq 0$ であるならば， $y$ は $x$ に関して微分可能で，次の式が成り立つ．

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$$

例題 2..17  

$${x = a\cos^{3}{t}, y = a\sin^{3}{t}, a > 0}$$ のとき， $${\frac{dy}{dx}}$$ を求めてみましょう．

解

$$\frac{dy}{dx} = {\frac{dy}{dt}}/{\frac{dx}{dt}} = \frac{3a\sin^{2}{t}\cos{t}}{-3a\cos^{2}{t}\sin{t}} = -\tan{t} \ensuremath{ \blacksquare}$$

微分法が使いこなせるようになるには，いくつもの問題をこなす必要があります．そこで微分計算に必要な導関数をまとめておきます．

$${(1) (x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha - 1}}$$

$${(2) (e^{x})^{\prime} = e^{x}}$$

$${(3) (\log{\vert x\vert})^{\prime} = \frac{1}{x}}$$

$${(4) (\sin{x})^{\prime} = \cos{x}}$$

$${(5) (\cos{x})^{\prime} = -\sin{x}}$$

$${(6) (\tan{x})^{\prime} = \sec^{2}{x}}$$

$${(7) (\sin^{-1}{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$$

$${(8) (\tan^{-1}{x})^{\prime} = \frac{1}{1+x^{2}}}$$

確認問題

1.

次の関数の導関数を逆関数の微分法を用いて求めよう．

(a) $${y = x^{\frac{1}{n}}, x > 0}$$ (b) $${y = \sqrt{x}, x > 0}$$

2.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${y = (x^{2} + 1)^{2004}}$$ (b) $${y = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{3}}$$ (c) $${y = [(2x+1)^{2} + (x+1)^{2}]^{3}}$$

3.

$\frac{dy}{dx}$ を求めよう．

(a) $${x = t + 1, y = t^{2}-1}$$ (b) $${x^{2} + y^{2} = 1}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${x^{2}\log{x}}$$ (b) $${x^{3}\sin{2x}}$$ (c) $${\sin^{-1}{(2x)}}$$ (d) $${\sqrt{e^{x} + 1}}$$ (e) $${(\sin(x+1))^{3}}$$ (f) $${x\sin^{-1}(2x)}$$

演習問題

1.

次の関数の導関数を逆関数の微分法を用いて求めよう．

(a) $${y = \cos^{-1}{x}}$$ (b) $${y = \tan^{-1}{x}}$$

2.

次の関数の導関数を対数微分法を用いて求めよう．

(a) $${y = x^{2}\sqrt{\frac{x^{3} + 2x + 1}{x^{2} - 3x + 1}}}$$ (b) $${y = x^{x}}$$ (c) $${y = \sin({x}^{x})}$$ (d) $${y = x^{1/x}}$$

3.

$\frac{dy}{dx}$ を求めよう．

(a) $${x = a\cos{t}, y = a\sin{t}, a > 0}$$ (b) $${x = \sqrt{t} - \frac{1}{t}, y = t + \frac{1}{\sqrt{t}}}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${x^{2}(1 + \sqrt{x})}$$ (b) $${x^{3}\tan{2x}}$$ (c) $${x\sin^{-1}{x}}$$ (d) $${\frac{x}{x^{2}+1}}$$ (e) $${x\sin{x}}$$

(f) $${x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^{2}}}$$ (g) $${\tan^{-1}(x^{2} + 1)}$$ (h) $${\cos{(\sqrt{2x+1})}}$$

(i) $${\frac{\sin{x} - x\cos{x}}{x\sin{x} + \cos{x}}}$$ (j) $${e^{2x}\cos{x}}$$ (k) $${\log{\vert x + \sqrt{x^{2} + A}\vert}}$$ (l) $${y = \sin{(x^{2} + 1)}}$$ (m) $${y = \cos{(\sqrt{x + 1})}}$$ (n) $${y = e^{\sin{x}}}$$