導関数(derivatives)

関数$f(x)$とそのグラフ上の点 $(x_{0},f(x_{0}))$が与えられたとき，どの直線を点 $(x_{0},f(x_{0}))$における接線とよぶことができるでしょうか．

この問題に答えるために，小さな数$h \neq 0$を選び，グラフ上に点 $(x_{0} + h, f(x_{0} + h))$を印します．ここで，この2つの点を通る直線(割線(secant line))を引きます．この状況を記すと次のようになります．

図: 割線

$h$が徐々に右側から0に近づくと，割線は極限位置に近づいていきます．同様に$h$が0に左側から近づくと，割線は右側から近づいたときと同じ極限位置に近づいていきます．この極限位置の直線をグラフ上の点 $(x_{0},f(x_{0}))$における接線といいます．

割線の傾きは

$$\frac{f(x_{0} +h) - f(x_{0})}{h}$$

で与えられます．これより，接線の傾きは

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0} +h) - f(x_{0})}{h}$$

となります．

これが，図形を用いた接線の考え方です．

ここからは，このような極限値をもっと系統立てて学んでいきます．

定義 2..1  

関数 $f(x)$ が $x_{0}$ を含むある区間で定義されているとき，極限値

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} = A \ (A \neq \pm \infty)$$

が存在するならば，関数 $f(x)$ は， $x = x_{0}$ で微分可能(differentiable) であるといいます．また，この極限値 $A$ を点 $x_{0}$ における微分係数といい， $f^{\prime}(x_{0})$ で表わします．

例題 2..1  

$f(x) = \sin{x}$ の微分係数 $f^{\prime}(0)$ を求めてみましょう．

解

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{h} - 0}{h} = 1 \$$

(例題1.3参照) したがって， $f^{\prime}(0) = 1$ となります．

これをグラフで見てみましょう．

図: 微分係数

図2.2を見て下さい．この図には $\sin{x}$ のグラフとその接線(tangent line) $y = x$ が描かれています．ここで， $\sin{x}$ の $x = 0$ での微分係数と接線 $y = x$ の傾きが同じであることに気付いて下さい．つまり， $f^{\prime}(0)$ は関数 $f(x)$ の $x = 0$ での接線の傾きを表わします．このことから，$y = f(x)$のグラフ上の点 $(x_{0},y_{0})$での接線の方程式は，

$$y - y_{0} = f'(x_{0})(x - x_{0})$$

となります．また，接線と垂直な線を法線といい，$y = f(x)$のグラフ上の点 $(x_{0},y_{0})$での法線の方程式は，接線と法線は垂直であることから，

$$y - y_{0} = -\frac{1}{f'(x_{0})}(x - x_{0})$$

となります．

例題 2..2  

$f(x) = x^{2}$のグラフ上の点$(-3,9)$における接線と法線の方程式を求めよ．

解 $f'(x) = 2x$より，点$(-3,9)$での接線の傾きは $f'(-3) = -6$. したがって，求める接線の方程式は，

$$y - 9 = -6(x - (-3))$$

つまり，

$$y - 9 = -6(x + 3)$$

法線の方程式は，

$$y - 9 = \frac{1}{6}(x + 3)$$

となります．

$f(x)$ が $x_{0}$ で微分可能でなくても

$$\lim_{h \rightarrow 0-} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}$$

または

$$\lim_{h \rightarrow 0+} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}$$

が存在することがあります．その場合，最初の値を 左側微分係数(left-hand derivative ) といい， $f_{-}^{\prime}(x_{0})$ で表わし，後の値を 右側微分係数(right-hand derivative) といい， $f_{+}^{\prime}(x_{0})$ で表わします．微分可能の定義より， $f_{-}^{\prime}(x_{0})$ と $f_{+}^{\prime}(x_{0})$ が共に存在し，かつ両者が等しいときに限り $f(x)$ は $x = x_{0}$ で微分可能となります．

例題 2..3  

$f(x) = \vert x\vert$ は $x = 0$ で微分可能か調べてみましょう．

解 まず， $f_{-}^{\prime}(0)$ を求めると

$$f_{-}^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(0+h) - f(0)}{h... ...ightarrow 0-}\frac{\vert h\vert}{h} = \lim_{h \rightarrow 0-}\frac{-h}{h} = -1$$

次に $f_{+}^{\prime}(0)$ を求めると

$$f_{+}^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(0+h) - f(0)}{h... ...\rightarrow 0+}\frac{\vert h\vert}{h} = \lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h}{h} = 1$$

となります．よって $f(x) = \vert x\vert$ は $x = 0$ で微分可能ではありません．

$f(x) = \vert x\vert$ は $x = 0$ で微分可能ではありませんでしたが， $x = 0$ で連続です．微分可能性と連続性の間にはどんな関係があるのでしょうか．

定理 2..1  

関数 $f(x)$ が $x = x_{0}$ で微分可能ならば， $f(x)$ は $x = x_{0}$ で連続である．

証明 $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f(x_{0})$ を示せばよいでしょう．そこで

$$f(x) - f(x_{0}) = \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}(x - x_{0})$$

と書き直し， $x$ を $x_{0}$ に近づけると

$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) - f(x_{0})) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}(x - x_{0})$$

ここで $f(x)$ は $x = x_{0}$ で微分可能であることに注意すると

$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) - f(x_{0})) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}(x - x_{0})$$

$$= f^{\prime}(x_{0}) \cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}(x - x_{0}) = 0$$

よって

$$\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f(x_{0}) \ensuremath{\ \blacksquare}$$

この逆，つまり連続ならば微分可能とはならないことは例題2.1 でみました．では関数が連続で微分可能ではないとき，グラフはどんな形をしているのでしょうか．図2.3を見てみましょう．$f(x)$ が $x = x_{0}$ で微分可能でないとき， $f_{+}^{\prime}(x_{0}) \neq f_{-}^{\prime}(x_{0})$ となっています．これより $f_{+}^{\prime}(x_{0})$ と $f_{-}^{\prime}(x_{0})$ が存在し等しくないときには，関数 $f(x)$ は $x = x_{0}$ でとがっていることが分かります．

図: 微分可能?

関数 $f(x)$ が，ある区間Iの各点で微分可能のとき $f(x)$ は 区間Iで微分可能(differentiable on I) であるといいます．この場合，区間Iの各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を $f(x)$ の 導関数(derivative) といい，

$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

で表わします．ほかにも，

$$\frac{df(x)}{dx}, Df(x)$$

などの表わし方もあります．また，関数 $f(x)$ の導関数を求めることを 微分する(differentiate) といいます．

例題 2..4  

$${f(x) = x^{n} \ (n \mbox{整数})}$$ を微分してみましょう．

解

$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n} - x^n}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \ \ (2項定理)$$

$$= nx^{n-1} + \lim_{h \rightarrow 0}[\binom{n}{2}x^{n-2}h + \binom{n}{3}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1}] = nx^{n-1}$$

となります．

$$\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$$

例題 2..5  

$${f(x) = e^{x}}$$ を微分してみましょう．

解

$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{x+h} - e^{x}}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{x}(e^{h} - 1)}{h} \ \ (e^{x+h} = e^{x}\cdot e^{h})$$

$$= e^{x}\lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{h} - 1}{h} = e^{x} \ (演習問題\ref{enshu:chouetsu}-1(b)参照)$$

となります．

$$\frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$$

例題 2..6  

$${f(x) = \sin{x}}$$ を微分してみましょう．

解

$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{(x+h)} - \sin{x}}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{x}\cos{h} + \cos{x}\sin{h} - \sin{x}}{h} \ \ (加法定理)$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}[\sin{x}\frac{\cos{h} - 1}{h} + \cos{x}\frac{\sin{h}}{h}]$$

$$= \sin{x} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sin^{2}{h}}{h(\cos{h} + 1)} + \cos{x}$$

$$= \sin{x} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{h}}{h}\cdot\frac{-\sin{h}}{\cos{h} + 1} + \cos{x} \ \ ( \ref{limsin} )$$

$$= \sin{x}(1 \cdot - \frac{0}{2}) + \cos{x} = \cos{x}$$

となります．

$$\frac{d}{dx}(\sin{x}) = \cos{x}$$

例題 2..7  

$${f(x) = \cos{x}}$$ を微分してみましょう．

解

$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos{(x+h)} - \cos{x}}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos{x}\cos{h} - \sin{x}\sin{h} - \cos{x}}{h} \ \ (加法定理)$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}[\cos{x}\frac{\cos{h} - 1}{h} - \sin{x}\frac{\sin{h}}{h}]$$

ここで， $${\frac{\cos{h} - 1}{h} \longrightarrow 0}$$. また， $${\frac{\sin{h}}{h} \longrightarrow 1}$$より，

$$\frac{d}{dx}(\cos{x}) = -\sin{x}$$

関数の導関数を，定義に基づいて求めるのは容易ではないことが分かりました．そこで，導関数の計算に必要な公式をまとめておきます．

定理 2..2  

[微分公式] $f(x)，g(x)，h(x)$ が微分可能のとき次式が成り立つ．

$${(1) \ (f(x) \pm g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x) }$$ (和の微分法)

$${(2) \ (cf(x))^{\prime} = cf^{\prime}(x)}$$ (c : 定数)

$${(3) \ (f(x)g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)}$$ (積の微分法)

$(4) \ \displaystyle{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)g(x) - f(x)g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}}$ (商の微分法)

証明 $(3)$ の証明．

$$(f(x)g(x))^{\prime} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(x+h)- f(x))g(x+h) + f(x)(g(x+h) - g(x))}{h}$$

$$= f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$$

ほかの場合も同様にしてできます．

例題 2..8  

微分公式を使って $${y = 3x^{3} + 2x +3}$$ の導関数を求めてみましょう．

解

$$y^{\prime} = (3x^{3} + 2x +3)^{\prime}$$

$$\underbrace{=}_{和の微分法} (3x^3)^{\prime} + (2x)^{\prime} + 3^{\prime}$$

$$= 3\cdot 3x^2 + 2 = 9x^2 + 2$$

となります．

例題 2..9  

微分公式を使って $\tan{x}$ の導関数を求めてみましょう．

解

$$(\tan{x})^{\prime} = (\frac{\sin{x}}{\cos{x}})^{\prime}$$

$$\underbrace{=}_{商の微分法} \frac{(\sin{x})^{\prime}\cos{x} - \sin{x}(\cos{x})^{\prime}}{\cos^{2}{x}}$$

$$= \frac{\cos^{2}{x} + \sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}$$

$$= \frac{1}{\cos^{2}{x}} = \sec^{2}{x}$$

となります．

$$\frac{d}{dx}(\tan{x}) = \sec^{2}{x}$$

図: 微分

変数 $x$ が，ある $x$ から $x+h$ まで変化するときの変動量$h$ を $x$ の 増分(increment) といい， $\Delta x$ で表わし，これに対応する $y$ の変動量 $f(x+\Delta x) - f(x)$ を $y$ の増分といい， $\Delta y$ で表わすと， $f^{\prime}(x)$ は次のように表わすことができます．

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{\prime}(x)$$

つまり，

$$\Delta y = f^{\prime}(x) \Delta x + \circ(\Delta x) \ (\Delta x \rightarrow 0)$$

ここで $\circ(\Delta x)$ とは

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\circ(\Delta x)}{\Delta x} = 0$$

ということです．したがって， $f^{\prime}(x)\Delta x$ が $\Delta y$ の主要な部分とみなせます．そこで，これを点 $x$ における関数 $y = f(x)$ の 微分(differential) といい， $dy$ または $df(x)$ で表わします．つまり

$$dy = df(x) = f^{\prime}(x){\Delta x}$$

特に， $f(x) = x$ のときは， $f^{\prime}(x) = 1$ より

$$df(x) = dx = \Delta x$$

つまり，独立変数について増分と微分が一致します．これから

$$dy = f^{\prime}(x)dx$$

となり， $dy,dx$ にそれぞれ別々に意味を持たせることができました．

例題 2..10  

$${y = f(x) = \sin{x}}$$ の微分を求めてみましょう．

解

$$dy = f^{\prime}(x)dx = \cos{x}dx$$

となります．

確認問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = c}$$ (b) $${f(x) = \sqrt{x-1}}$$ (c) $${f(x) = \frac{1}{x^{2}}}$$

2.

次の関数の$x = 2$での微分係数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = 5x - x^{2}}$$ (b) $${f(x) = （3x - 7)^{2}}$$

3.

次の曲線上の与えられた$a$に対応する点における接線の方程式を求めよう．

(a) $${f(x) = x^{2} - 5x + 3, \ a = 2}$$ (b) $${f(x) = 5 - x^{3}, \ a = 2}$$ (c) $${f(x) = \sqrt{x},\ a = 4}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${y = 11x^{5} - 6x^{3} + 8}$$ (b) $${y = -\frac{1}{x^{2}}}$$ (c) $${y = (x^{2} - 1)(x-3)}$$

(d) $${y = \frac{x-1}{x-2}}$$ (e) $${y = \frac{x^{2}-1}{2x+3}}$$ (f) $${y = \frac{6 - 1/x}{x-2}}$$ (g) $${y = \frac{1 + x^{4}}{x^{2}}}$$

演習問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = \cos{3x}}$$ (b) $${f(x) = (x + 2)^{n} \ (n : \mbox{整数})}$$

2.

次の関数の微分を求めよう．

(a) $${f(x) = x^4}$$ (b) $${f(x) = e^{x}}$$

3.

次の関数の $x = 0$ における右側微分係数，および左側微分係数を求めよう．

(a) $${f(x) = \vert x^2 + x\vert}$$ (b) $${f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 \sin{\frac{1}{x}}, & x \neq 0\\ 0, & x = 0 \end{array}\right.}$$ (c) $${f(x) = \sqrt{x^3 + x^2}}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${y = \frac{3x-1}{x^{2} + 1}}$$ (b) $${y = \sec{x}}$$ (c) $${y = {\rm cosec}{x}}$$ (d) $${y = \cot{x}}$$

(e) $${y = x^{2}e^{x}}$$ (f) $${y = e^{x}\sin{x}}$$ (g) $${y = \frac{e^{x}}{\sin{x}}}$$