2重積分の応用(application of double integrals)

ここでは2重積分の応用としてまず面積を考えます．図7.10のような有界閉領域 $\Omega$ の面積は

図 7.10: $\Omega$ の面積

$$\int_{a}^{b}(f(x) - g(x))dx$$

で与えられますが，

$$f(x) - g(x) = \int_{y = g(x)}^{y = f(x)}dy$$

より2重積分を用いて，

$$\iint_{\Omega}dxdy = \int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dydx$$

と表わすことができます．

例題 7..7  

曲線 $${x^2 = 4y}$$ と直線 $${2y - x - 4 = 0}$$ で囲まれた領域 $\Omega$ の面積を求めてみましょう．

図 7.11: 曲線と直線で囲まれた領域

解 図7.11よりV-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}dxdy = \int_{-2}^{4}dx\int_{\frac{x^2}{4}}^{\frac{x+4}{2}}dy = \int_{-2}^{4}[\frac{x+4}{2} - \frac{x^2}{4}]dx$$

$$= \left[\frac{x^2}{4} +2x - \frac{x^3}{12}\right ]_{-2}^{4} = \frac{16 - 4}{4} + 2(4+2) -\frac{1}{12}(64 + 8)$$

$$= 3 + 12 - 6 = 9 \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 7..8  

Cardiod(心臓形) $${r = 1+\cos{\theta}}$$ の内側で $r = 1$ の外側の領域 $\Omega$ の面積を求めてみましょう．

図 7.12: 心臓形と円

解 $r = 1 + \cos{\theta}$ と $r = 1$ の交点を求めると， $\cos{\theta} = 0$ より $${\theta = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}}$$．よって，変数変換 $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ を行なうと，領域 $\Omega$ は領域 $\Gamma = \{(r,\theta) : -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 1 \leq r \leq 1+\cos{\theta} \}$ に移されます．図7.12参照．よって

$$\iint_{\Omega}dxdy = \iint_{\Gamma}rdrd\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{1}^{1+\cos{\theta}}rdrd\theta$$

$$= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{r^2}{2}\right ]_{1}^{1+\cos... ...ta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\cos{\theta} + \cos^{2}{\theta}}{2}d\theta$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos{\theta}d{\theta} + \int_{0}^{\frac... ...}{2}} \cos^{2}{\theta}d{\theta} = 2 + \frac{\pi}{4} \ensuremath{ \blacksquare}$$

$xy$ 平面上の有界閉領域 $\Omega$ 上で定義された関数 $z = f(x,y)$ が $C^{1}$ 級であるとき，

$$S = \{(x,y,f(x,y) : (x,y) \in \Omega \}$$

は 滑らかな曲面(smooth curve) であるといいます．この曲面 $S$ の曲面積$S$ を求めてみましょう．

図 7.13: 曲面積

図7.13 で四辺形PQRSにおいてベクトル

$$\vec{{\rm OP}} = (x,y,f(x,y)), \vec{{\rm OQ}} = (x+\Delta x, y, f(x+\Delta x, y)), \vec{{\rm OS}} = (x, y+\Delta y, f(x,y+\Delta y))$$

とすると，

$$\vec{{\rm PQ}} = \vec{{\rm OQ}} - \vec{{\rm OP}} = (\Delta x, 0 , f(x+\Delta x, y) - f(x,y)) \approx (\Delta x, 0 , f_{x}(x, y))$$

$$\vec{{\rm PS}} = \vec{{\rm OS}} - \vec{{\rm OP}} = (0, \Delta y, f(x, y+\Delta y) - f(x,y)) \approx (0,\Delta y, f_{y}(x,y))$$

よって四辺形PQRSの面積は $\Vert\vec{{\rm PQ}}\times \vec{{\rm PS}}\Vert$ で近似されます．ここで，

$$\vec{{\rm PQ}}\times \vec{{\rm PS}} = \left \vert \begin{array}{c... ...\vert = (-f_{x}\Delta x \Delta y, - f_{y}\Delta y \Delta x, \Delta x \Delta y)$$

より

$$\Vert\vec{{\rm PQ}}\times \vec{{\rm PS}}\Vert = \sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1}(\Delta x \Delta y)$$

これより曲面積は2重積分を用いて次のように表わせます．

$$S = \iint_{\Omega}\sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1} dxdy$$

ここで $\Omega$ は曲面 $S$ の $xy$ 平面への正射影です．

例題 7..9  

球面 $${x^2 + y^2 + z^2 = 1}$$ が円柱面 $${x^2 + y^2 = x}$$ によって切り取られる部分の曲面積$S$ を求めてみましょう．

図 7.14: 球面と円柱面の共通部分

解

$$z = f(x,y) = \sqrt{1-x^2 - y^2}, \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq x \}$$

の曲面積を求め，2倍すればよいでしょう．

$$S = 2\iint_{\Omega}\sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1}dxdy$$

$$= 2\iint_{\Omega}\sqrt{(\frac{x^2}{1-x^2-y^2} + \frac{y^2}{1-x^2-y^2} + 1)}dxdy$$

$$= 2\iint_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy$$

ここで極座標に変換すると $\Omega$ は

$$\Gamma = \{(r,\theta) : -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq \cos{\theta} \}$$

にうつり $J(r,\theta) = r$ より

$$S = 2\iint_{\Gamma}\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}rdrd\theta = 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{\cos{\theta}}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}dr$$

$$= 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[-\sqrt{1-r^2}\right ... ...eta = 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \vert\sin{\theta}\vert)d\theta$$

$$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \sin{\theta})d\theta = 4(\frac{\pi}{2} - 1) = 2\pi - 4$$

となります． $\blacksquare$

有界閉領域 $\Omega$ と $\Omega$ 上の連続関数 $z = f(x,y), z = g(x,y)$ があり， $\Omega$ 上で $f(x,y) \geq g(x,y)$ とします．このとき $\Omega$ の境界 $\partial \Omega$ を通り $z$ 軸に平行な直線群と $f,g$ のグラフ曲面で囲まれた立体の体積は

$$V = \iint_{\Omega}[f(x,y) - g(x,y)]dxdy$$

で与えられます．

例題 7..10  

2つの円柱面 $${x^2 + y^2 = a^2, x^2 + z^2 = a^2 (a > 0)}$$ によって囲まれた立体の体積を求めてみましょう．

図 7.15: 2つの円柱面の共通部分

解

$$z = \pm \sqrt{a^2 - x^2}, \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq a^2 \}$$

より求める立体は $x,y,z$ 軸に対して対称．したがって

$$V = 2\iint_{\Omega}\sqrt{a^2 - x^2}dxdy = 8\int_{0}^{a}dx\int_{y = 0}^{y= \sqrt{a^2 - x^2}}\sqrt{a^2 - x^2}dy$$

$$= 8\int_{0}^{a}(a^2 - x^2)dx = 8\left[a^2 x - \frac{x^3}{3}\right ]_{0}^{a} = \frac{16a^3}{3} \ensuremath{ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の図形の面積を求めよう．

(a) 曲線 $${r = 1 - \cos{\theta}}$$で囲む部分

(b) $${r = 3\cos{\theta}}$$の内側で $r = \frac{3}{2}$の外側の部分

(c) $${r = 3\cos{\theta}}$$の内側で $r = \cos{\theta}$の外側の部分

2.

次の曲面の曲面積を求めよう．

(a) $z^{2} = x^{2} + y^{2}$の $0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 1$, $z \geq 0$の部分

(b) 平面$x+y+z = 2$ の $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$の部分

(c) 双曲方物面$z = xy$の円柱面 $x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$の内部にある部分

3.

次の立体の体積を求めよう．

(a) 放物面 $z = x^{2} + y^{2}$と平面$z = 2y$によって囲まれた部分

(b) 放物面 $z = x^{2} + y^{2}$と円柱 $x^{2} + y^{2} \leq 1$によって囲まれる部分

演習問題

1.

次の図形の面積を求めよう．

(a) 曲線 $${x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t} (0 \leq t \leq \frac{\pi}{2})}$$ と両軸とで囲む部分

(b) $${r = a\cos{3\theta} (a > 0)}$$ の囲む部分

(c) 曲線 $${y = \frac{8}{x^2 + 4}}$$ と $${y = \frac{x^2}{4}}$$ で囲む部分

2.

次の曲面の曲面積を求めよう．

(a) 半径 $a$ の球面 $${x^2 + y^2 + z^2 = a^2}$$

(b) $z = xy$ の $${x^2 + y^2 \leq a^2}$$ に対応する部分

(c) 円柱 $${x^2 + z^2 = a^2}$$ が円柱 $${x^2 + y^2 = a^2}$$ によって切り取られる部分

(d) $y = mx (0 \leq x \leq k)$ を $x$ 軸の回りに回転してできる曲面 $(m > 0)$

3.

次の立体の体積を求めよう．

(a) 円柱 $${x^2 + y^2 \leq a^2}$$ の $0 \leq z \leq x$ の部分

(b) $${0 \leq z \leq 1 - x^2, x \leq 1 - y^2, x \geq 0, y \geq 0}$$ で定まる閉領域

(c) 球 $${x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2}$$ と円柱 $${x^2 + y^2 \leq ax}$$ の共通部分

(d) 円錐面 $${z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}}$$ と平面 $z = x$および $x = 0$ で囲まれる部分