広義積分(improper integrals)

これまでに扱った2重積分は，領域 $\Omega$ が有界でかつ関数 $f(x,y)$ も $\Omega$ 上で有界のときでした．ここではもう少し広い範囲での2重積分，つまり $\Omega$ が有界でない場合を考えてみましょう．

$\Omega$ 内の有界な閉領域の列 $\Omega_{1},\Omega_{2},\cdots,\Omega_{n},\cdots$ が

$$\Omega_{1} \subset \Omega_{2} \subset \cdots \subset \Omega_{n} \subset \cdots$$

をみたし， $\Omega$ 内のどのような集合も必ずある $\Omega_{n}$ に含まれるようにでき，また， $f(x,y)$ が各 $\Omega_{n}$ 上で積分可能で

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\iint_{\Omega_{n}} f(x,y)dxdy$$

が存在するならば， $f(x,y)$ は $\Omega$ 上で積分可能(integrable) であるといい，次のように定義します．

$$\iint_{\Omega} f(x,y)dxdy = \lim_{n \rightarrow \infty}\iint_{\Omega_{n}} f(x,y)dxdy$$

例題 7..5  

次の2重積分を求めてみましょう．

$$I = \iint_{\Omega}e^{-(x^2 + y^2)}dxdy , \Omega = \{(x,y) : x,y \geq 0\}$$

解 まず，領域 $\Omega$ は有界でないので，次のような有界な閉領域の列 $\{\Omega_{n}\}$ を考えます．

$$\Omega_{n} = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq n^2, x,y \geq 0 \}$$

この閉領域の列 $\{\Omega_{n}\}$ を図示すると図7.8を得ます．

図 7.8: 閉領域の列

$\Omega_{n}$ 上での積分は極座標変換 $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ を用いて行うと，

$$\iint_{\Omega_{n}}e^{-(x^2 + y^2)}dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{n}e^{-r^{2}}rdr$$

$$= \frac{\pi}{2}\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right ]_{0}^{n} = \frac{\pi}{4}(1 - e^{-n^2})$$

したがって， $n \rightarrow \infty$ とすると $I$ が求まり， $I = \pi/4$． $\blacksquare$

次に $\Omega$ 上で $f(x,y)$ が有界でない場合を考えてみましょう．

例題 7..6  

$\Omega = \{(x,y) : 0 < x \leq 1, 0 < y \leq 1 \}$ のとき，次の2重積分を求めてみましょう．

$$I = \iint_{\Omega}\frac{dxdy}{(x+y)^{3/2}}$$

解

$$\Omega_{n} = \{(x,y) : \frac{1}{n} \leq x \leq 1, \frac{1}{n} \leq y \leq 1\}$$

とおくと，図7.9を得ます．

図 7.9: 領域の列

これより，

$$\iint_{\Omega_{n}}\frac{dxdy}{(x+y)^{3/2}} = \int_{1/n}^{1}dx\int_{1/n}^{1} \frac{dy}{(x+y)^{3/2}} = \int_{1/n}^{1}\left[-\frac{2}{(x+y)^{1/2}}\right ]_{\frac{1}{n}}^{1}dx$$

$$= 2\int_{1/n}^{1}[(x+\frac{1}{n})^{-\frac{1}{2}} - (x+1)^{-\frac{1}{2}} ]dx$$

$$= 2\left[2(x+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}} - 2(x+1)^{\frac{1}{2}}\right ]_{\frac{1}{n}}^{1}$$

$$= 4[2(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} - (\frac{2}{n})^{\frac{1}{2}}]$$

したがって， $n \rightarrow \infty$ とすると $I$ が求まります． $I = 4(2 - \sqrt{2})$. $\blacksquare$

確認問題

1.

次の広義積分を求めよう．

(a) $${\iint_{\Omega}e^{y/x}dx dy, \Omega = \{(x,y) : 0 < x \leq 1, 0 \leq y \leq x \}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}\frac{x}{\sqrt{1 - x - y}}dx dy, \Omega = \{(x,y) : x+y < 1, x \geq 0, y \geq 0\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}\log(x^{2} + y^{2})dxdy, \Omega = \{(x,y) : x,y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

演習問題

1.

次の広義積分を求めよう．

(a) $${\iint_{\Omega}\frac{dxdy}{(y^2 - x^2)^{1/2}}, \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x < y \leq 1\}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}e^{-(x+y)}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x \geq 0, y \geq 0\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}\tan^{-1}(\frac{y}{x})dxdy, \Omega = \{(x,y) : x,y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

(d) $${\iint_{\Omega}\frac{1}{x^2y^{2}}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x \geq 1, y \geq 1 \}}$$

(e) $${\iint_{\Omega}\frac{dxdy}{\sqrt{x - y^2}}, \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, y^2 \leq x \}}$$

(f) $${\iint_{\Omega}\frac{dxdy}{1 + (x^2 + y^2)^2}, \Omega = \{(x,y) : -\infty < x,y < \infty \}}$$

2.

例題7.4を用いて， $${\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x} dx = \sqrt{\pi}}$$ を示そう．