7.4 広義積分

1.

(a) $${\frac{\pi}{2}}$$(b) 1(c) $${\frac{\pi^2}{16}}$$(d) 1(e) $\pi$(f) $${\frac{\pi^2}{2}}$$

2.

$${t = x^{\frac{1}{2}}}$$ とおくと， $${2tdt = dx}$$．したがって，

$$\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x} dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt$$

$${I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx, I = \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dt}$$ とおくと，

$$I^2 = \iint_{0}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx dy$$

ここで例題7.4を用いると， $${I^2 = \frac{\pi}{4}}$$ より $${\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}}$$