変数変換(change of variables)

1変数関数 $f(x)$ の定積分に関する置換積分の公式に対応するものを2重積分で考えてみましょう．

いま $xy$ 平面上の領域 $\Omega$ と $uv$ 平面上の領域 $\Gamma$ との間に

$$x = \phi(u,v)$$

$$y = \psi(u,v)$$

なる1対1で上への対応$\Phi$ があり， $\phi,\psi$ は $u,v$ に関して $C^{1}$ 級であるとします．さらに，

$$J(u,v) = \left\vert\begin{array}{cc} \phi_{u}(u,v)&\phi_{v}(u,v)\\ \psi_{u}(u,v)&\psi_{v}(u,v) \end{array}\right \vert$$

は $\Gamma$ 上で常に0にならないものとします．このとき次の定理が成り立ちます．

定理 7..4  

[変換公式]$\Omega$ 上で連続な関数 $f(x,y)$ に対して次の式が成り立つ．

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \iint_{\Gamma}f(\phi(u,v),\psi(u,v))\vert J(u,v)\vert dudv$$

ここで用いられた $J(u,v)$ を ジャコビアン(Jacobian) といいます．簡単な例でジャコビアンを説明しましょう．

例えば，$\Phi$ が $\Phi : \left\{\begin{array}{l} x = 2u\\ y = 2v \end{array} \right.$ で与えられたとします．すると，

$$\binom{x}{y} = \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)\binom{u}{v} = \Phi\binom{u}{v}$$

と表わせ，$\Phi$が正則行列ならば，逆行列 $\Phi$ が存在するので，

$$\binom{u}{v} = \Phi^{-1}\binom{x}{y} = \frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)\binom{x}{y}$$

ここで， $xy$ 平面上に4点 $(x,y), (x+\Delta x, y), (x, y + \Delta y), (x + \Delta x, y + \Delta y)$ を頂点とする長方形を考えます．この長方形の面積は $\Delta x \Delta y$ で与えられることに注意し，対応する $uv$ 平面上の図形の面積を求めてみましょう．

$${\binom{u}{v} = \Phi^{-1}\binom{x}{y}}$$ より

$$\begin{array}{l} (x,y) \to (\frac{x}{2},\frac{y}{2}) = (u,v)\... ...c{y + \Delta y}{2}) = (u + \Delta u, v + \Delta v) \end{array}$$

よって， $uv$ 平面上の図形の面積 $\Delta u \Delta v$は

$$\left(\frac{x + \Delta x}{2} - \frac{x}{2}\right) \left(\frac{y + \Delta y}{2} - \frac{y}{2} \right) = \frac{1}{4} \Delta x \Delta y$$

これより

$$\Delta x \Delta y = 4 \Delta u \Delta v = \vert J(u,v)\vert \Delta u \Delta v$$

これがジャコビアンです．

特に極座標 $(r,\theta)$ を直交座標 $(x,y)$ に変換するときは， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ より，

$$J(r,\theta) = \left\vert\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\part... ...s{\theta} \end{array}\right \vert = r(\cos^{2}{\theta} + \sin^{2}{\theta}) = r$$

となるので，

定理 7..5  

[極座標変換]

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \iint_{\Gamma}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})r dr d\theta$$

例題 7..3  

変数変換を用いて次の積分を計算してみましょう．

$$\iint_{\Omega}xydxdy, \ \Omega = \{x^2 + y^2 \leq 1, x,y \geq 0\}$$

図: 変換前と変換後

解 極座標変換を用いると， $0 \leq x^2 + y^2 = r^2 \leq 1$， また， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta} \geq 0$ より $${0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}}$$．よって $\Omega$ は

$$\Gamma = \{(r,\theta) : 0 \leq r \leq 1, \ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \}$$

にうつる．したがって，

$$\iint_{\Omega}xydxdy = \iint_{\Gamma}r^3\cos{\theta}\sin{\theta}drd{\theta}$$

$$= \int_{0}^{1}r^{3}dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}\cos{\thet... ...heta}}{2}\right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 7..4  

$\Omega = \{(x.y) : x^2 + y^2 \leq x\}$ のとき，2重積分

$$\iint_{\Omega}\sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy$$

を計算してみましょう．

解 極座標変換を用いると $0 \leq x^2 + y^2 = r^2 \leq r\cos{\theta}$ より $\Omega$ は

$$\Gamma = \{(r,\theta) : -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq \cos{\theta} \}$$

にうつるので，

$$\iint_{\Omega}\sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos{\theta}}\sqrt{1 - r^2}rdrd{\theta}$$

$$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\frac{1}{3}(1-r^2)^{3/2}\right ]_{0}^{\cos{\theta}} d{\theta}$$

$$= \frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(... ...i}{2}-\frac{2}{3}) \ (定理\ref{teisekibunkoushiki}参照) \ensuremath{\ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の $2$重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}(x^2+y^{2})dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}\frac{1}{(x^2+y^2)}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, y \geq 0\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}y^{2}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x^{2} + y^{2} \leq 1 \}}$$

(d) $${\iint_{\Omega}(x+y)dxdy, \Omega = \{(x,y): 0 \leq x+y \leq 1, \vert x-y\vert \leq 1}$$

(e) $${\iint_{\Omega}\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x^{2} + y^{2} \leq 2x \}}$$

2.

$u = x - y, v = x + y$とおくと，領域 $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x + y \leq 1, 0 \leq x - y \leq 1\}$はどんな図形に移されるか図示せよ．また，この変数変換を用いて，2重積分 $\iint_{\Omega}(2x + 3y)dxdy$の値を求めよう．

3.

$\Omega = \{(x,y): 0 \leq x - y \leq 1, 0 \leq x + 2y \leq 1\}$とするとき，2重積分 $\iint_{\Omega}2xdxdy$の値を求めよう

演習問題

1.

次の $2$重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x^{2}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}\log{(x^2+y^2)}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}e^{(y-x)/(y+x)}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0 \}}$$

(d) $${\iint_{\Omega}e^{x^2 + y^2}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : 1 < x^2 + y^2 < 4 \}}$$

(e) $${\iint_{\Omega}\sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

(f) $${\iint_{\Omega}(1 - x - 2y)dxdy, \ \Omega = \{(x,y) : x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

2.

$u = x + y, v = x - y$に変換して，次の積分を求めよう．

$${\iint_{\Omega}(x^2 + y^2) e^{-x+y} dx dy, \ \Omega = \{-1 \leq x+y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1 \}}$$