累次積分(repeated integrals)

ここでは2重積分の計算について考えます.

**図 7.2:** V-simple
$\includegraphics[width=6cm]{SOFTFIG-5/v-simple.eps}$

**図 7.3:** H-simple
$\includegraphics[width=6cm]{SOFTFIG-5/H-simple.eps}$

2重積分をその定義に基づいて計算することは，2変数関数のRiemann和を求めて計算することに相当します．これは一般に困難なので，次の定理によって，2重積分を 累次積分(repeated integral) とよばれる単一積分の反復に変えて計算します．

定理 7..3

(1) $a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)$ で囲まれた閉領域 $% latex2html id marker 74847 $ \Omega(図\ref{fig:V-simple})$$ で，が連続ならば

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}\{\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy\}dx$

(2) $c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)$ で囲まれた閉領域 $% latex2html id marker 74855 $ \Omega(図\ref{fig:H-simple})$$ で，

が連続ならば

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d}\{\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)dx\}dy$

$a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)$ で囲まれた閉領域を 縦線集合(V-simple)，

$c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)$ で囲まれた閉領域を 横線集合(H-simple) といいます．

この定理は次のように考えることができます．

2重積分

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy$

は図7.4 に示す

平面上の領域 $\Omega$ を底面とし，上面が

である柱状体の体積と考えられるので，その体積は

$\displaystyle \int_{a}^{b}A(x)dx$

により求めることができます．ここで，

は

軸に垂直な平面で

を切断した切断面の面積なので，縦方向に細長い長方形を積んでいくと考えると

$\displaystyle A(x) = \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy$

とおくことができます．つまり定理7.2(1)

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}A(x)dx = \int_{a}^{b}\{\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy\}dx$

を得たことになります．

**図 7.4:** 累次積分
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6.7cm]{CALCFIG/Fig7-2-4.eps} \end{center}\end{figure}$

例題 7..1

次の2重積分を求めてみましょう．

$\displaystyle \iint_{\Omega}(x^2 - y)dxdy, \Omega = \{-1 \leq x \leq 1, -x^2 \leq y \leq x^2\}$

解まず， $\Omega$ を図示(図7.5)すると

**図 7.5:** $-x^2 \leq y \leq x^2$
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{CALCFIG/Fig7-2-2-4.eps} \end{center}\end{figure}$

この領域はV-simpleなので，定理7.2(1)より

$\displaystyle \iint_{\Omega}(x^2 - y)dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}(\int_{-x^2}^{x^2}(x^2 - y)dy)dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left[(x^2 y - \frac{1}{2}y^2) \right ]_{-x^2}^{x^2} dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}[(x^4 - \frac{1}{2}x^4) - (-x^4 - \frac{1}{2}x^4)]dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}2x^4dx = \left[\frac{2}{5}x^5]\right ]_{-1}^{1} = \frac{4}{5} \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 7..2

領域 $\Omega$ が図7.6 で与えられているとき，次の2重積分を求めてみましょう.

$\displaystyle \iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy$

**図 7.6:** $x^2 \leq y \leq x^{1/4}$
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{CALCFIG/Fig7-2-2-5.eps} \end{center}\end{figure}$

解この領域はH-simpleでもありV-simpleでもあります．そこでまずV-simpleを用いて計算してみます．

V-simpleより $\Omega$ は次のように表わすことができます．

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x^{1/4} \}$

したがって，

$\displaystyle \iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x^{1/4}}(x^{1/2} - y^2)dydx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[x^{1/2}y - \frac{1}{3}y^3]\right ]_{x^2}^{x^{1/4}}dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}(\frac{2}{3}x^{3/4} - x^{5/2} + \frac{1}{3}x^{6})dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[\frac{8}{21}x^{7/4} - \frac{2}{7}x^{7/2} + \frac{1}{21}x^7]\right ]_{0}^{1} = \frac{8}{21} - \frac{2}{7} + \frac{1}{21} = \frac{1}{7}$

次にこの積分をH-simpleを用いて行なってみます．この場合 $\Omega$ は次のように表わすことができます．

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, y^4 \leq x \leq y^{1/2} \}$

よって

$\displaystyle \iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y^4}^{y^{1/2}}(x^{1/2} - y^2)dxdy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{2}{3}x^{3/2} - y^2 x]\right ]_{y^4}^{y^{1/2}}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}(\frac{2}{3}y^{3/4} - y^{5/2} + \frac{1}{3}y^{6})dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[\frac{8}{21}y^{7/4} - \frac{2}{7}y^{7/2} + \frac{1}{21}y^7]\right ]_{0}^{1} = \frac{8}{21} - \frac{2}{7} + \frac{1}{21} = \frac{1}{7}$

となり，同じ結果を得ることができます． $\blacksquare$

このようにV-simpleで行なった積分をH-simple または H-simpleで行なった積分をV-simpleで行なうことを 積分順序の交換(change the order of integration)をするといいます．

確認問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $\displaystyle{\iint_{\Omega}x dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$

(b) $\displaystyle{\iint_{\Omega}(2x + 3y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$

(d) $\displaystyle{\iint_{\Omega}\sin(x+y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}}$

(e) $\displaystyle{\iint_{\Omega}x^{3} y dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dydx}$ (b) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^{2}}f(x,y)dxdy}$ (c) $\displaystyle{\int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{3-x}f(x,y)dydx}$

3.

次の体積を求めよう．

(a) 曲面で上に有界で3点を頂点とする三角面で下に有界な立体

(b) 曲面で上に有界で点を頂点とする正方形で下に有界な立体

演習問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $\displaystyle{\iint_{\Omega}x^2 dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$

(b) $\displaystyle{\iint_{\Omega}e^{x+y} dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$

(d) $\displaystyle{\iint_{\Omega}(4 - y^2) dxdy, \Omega}$ はとで囲まれた領域

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{x^4}^{x^2}f(x,y)dydx}$ (b) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{-y}^{y}f(x,y)dxdy}$ (c) $\displaystyle{\int_{1}^{4}\int_{x}^{2x}f(x,y)dydx}$

3.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{y/x}dxdy}$ (b) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^2}dydx}$ (c) $\displaystyle{\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}}\frac{\sin{x}}{x}dx}$