累次積分(repeated integrals)

ここでは2重積分の計算について考えます.

図 7.2: V-simple

図 7.3: H-simple

2重積分をその定義に基づいて計算することは，2変数関数のRiemann和を求めて計算することに相当します．これは一般に困難なので，次の定理によって，2重積分を 累次積分(repeated integral) とよばれる単一積分の反復に変えて計算します．

定理 7..3  

(1) $a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)$ で囲まれた閉領域 $\Omega(図\ref{fig:V-simple})$ で， $f(x,y)$ が連続ならば

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}\{\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy\}dx$$

(2) $c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)$ で囲まれた閉領域 $\Omega(図\ref{fig:H-simple})$ で， $f(x,y)$ が連続ならば

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d}\{\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)dx\}dy$$

$a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)$ で囲まれた閉領域を 縦線集合(V-simple)，

$c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)$ で囲まれた閉領域を 横線集合(H-simple) といいます．

この定理は次のように考えることができます．

2重積分

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy$$

は図7.4 に示す $xy$ 平面上の領域 $\Omega$ を底面とし，上面が $z = f(x,y)$ である柱状体の体積と考えられるので，その体積は

$$\int_{a}^{b}A(x)dx$$

により求めることができます．ここで， $A(x)$ は $x$ 軸に垂直な平面で $z = f(x,y)$ を切断した切断面の面積なので，縦方向に細長い長方形を積んでいくと考えると

$$A(x) = \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy$$

とおくことができます． つまり定理7.2(1)

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}A(x)dx = \int_{a}^{b}\{\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy\}dx$$

を得たことになります．

図 7.4: 累次積分

例題 7..1  

次の2重積分を求めてみましょう．

$$\iint_{\Omega}(x^2 - y)dxdy, \Omega = \{-1 \leq x \leq 1, -x^2 \leq y \leq x^2\}$$

解 まず， $\Omega$ を図示(図7.5)すると

図 7.5: $-x^2 \leq y \leq x^2$

この領域はV-simpleなので，定理7.2(1)より

$$\iint_{\Omega}(x^2 - y)dxdy = \int_{-1}^{1}(\int_{-x^2}^{x^2}(x^2 - y)dy)dx$$

$$= \int_{-1}^{1}\left[(x^2 y - \frac{1}{2}y^2) \right ]_{-x^2}^{x^2} dx$$

$$= \int_{-1}^{1}[(x^4 - \frac{1}{2}x^4) - (-x^4 - \frac{1}{2}x^4)]dx$$

$$= \int_{-1}^{1}2x^4dx = \left[\frac{2}{5}x^5]\right ]_{-1}^{1} = \frac{4}{5} \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 7..2  

領域 $\Omega$ が図7.6 で与えられているとき，次の2重積分を求めてみましょう.

$$\iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy$$

図 7.6: $x^2 \leq y \leq x^{1/4}$

解 この領域はH-simpleでもありV-simpleでもあります．そこでまずV-simpleを用いて計算してみます．

V-simpleより $\Omega$ は次のように表わすことができます．

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x^{1/4} \}$$

したがって，

$$\iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy = \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x^{1/4}}(x^{1/2} - y^2)dydx$$

$$= \int_{0}^{1}\left[x^{1/2}y - \frac{1}{3}y^3]\right ]_{x^2}^{x^{1/4}}dx$$

$$= \int_{0}^{1}(\frac{2}{3}x^{3/4} - x^{5/2} + \frac{1}{3}x^{6})dx$$

$$= \left[\frac{8}{21}x^{7/4} - \frac{2}{7}x^{7/2} + \frac{1}{21}x^7]\right ]_{0}^{1} = \frac{8}{21} - \frac{2}{7} + \frac{1}{21} = \frac{1}{7}$$

次にこの積分をH-simpleを用いて行なってみます．この場合 $\Omega$ は次のように表わすことができます．

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, y^4 \leq x \leq y^{1/2} \}$$

よって

$$\iint_{\Omega}(x^{1/2} - y^2)dxdy = \int_{0}^{1}\int_{y^4}^{y^{1/2}}(x^{1/2} - y^2)dxdy$$

$$= \int_{0}^{1}\left[\frac{2}{3}x^{3/2} - y^2 x]\right ]_{y^4}^{y^{1/2}}dy$$

$$= \int_{0}^{1}(\frac{2}{3}y^{3/4} - y^{5/2} + \frac{1}{3}y^{6})dy$$

$$= \left[\frac{8}{21}y^{7/4} - \frac{2}{7}y^{7/2} + \frac{1}{21}y^7]\right ]_{0}^{1} = \frac{8}{21} - \frac{2}{7} + \frac{1}{21} = \frac{1}{7}$$

となり，同じ結果を得ることができます． $\blacksquare$

このようにV-simpleで行なった積分をH-simple または H-simpleで行なった積分をV-simpleで行なうことを 積分順序の交換(change the order of integration)をするといいます．

確認問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$$

(b) $${\iint_{\Omega}(2x + 3y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

(c) $${\iint_{\Omega}(1 + x + xy) dxdy, \Omega: 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y}$$

(d) $${\iint_{\Omega}\sin(x+y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}}$$

(e) $${\iint_{\Omega}x^{3} y dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dydx}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^{2}}f(x,y)dxdy}$$ (c) $${\int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{3-x}f(x,y)dydx}$$

3.

次の体積を求めよう．

(a) 曲面$z = x+y$で上に有界で3点 $(0,0), (0,1), (1,0)$を頂点とする三角面で下に有界な立体

(b) 曲面$z = 2x+3y$で上に有界で点 $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$を頂点とする正方形で下に有界な立体

(c) 曲面 $z = x^{2} + y^{2}$で上に有界で単位円盤 $x^{2} + y^{2} \leq 1$で下に有界な立体

演習問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x^2 dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$$

(b) $${\iint_{\Omega}e^{x+y} dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

(c) $${\iint_{\Omega}\sqrt{xy} dxdy, \Omega: 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y}$$

(d) $${\iint_{\Omega}(4 - y^2) dxdy, \Omega}$$ は $y^2 = 2x$ と $y^2 = 8 - 2x$ で囲まれた領域

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{x^4}^{x^2}f(x,y)dydx}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{-y}^{y}f(x,y)dxdy}$$ (c) $${\int_{1}^{4}\int_{x}^{2x}f(x,y)dydx}$$

3.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{y/x}dxdy}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^2}dydx}$$ (c) $${\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}}\frac{\sin{x}}{x}dx}$$