2重積分(double integrals)

図: 領域の分割

3.7章で，区間 $[a,b]$ で定義されている1変数関数の定積分をRiemann和を用いて定義しました．ここでは平面上の有界閉領域 $\Omega$ で定義されている2変数関数の定積分を フランスの数学者 Jean Gaston Darboux(1842-1917) によって用いられた方法で定義します．

長方形上の2重積分

$xy$ 平面上の長方形$W$ 上で定義された関数を $z = f(x,y)$ とします．次に $W$ を $x$ 軸， $y$ 軸に平行な直線で分割し，分割された小長方形を $W_{1,1},W_{1,2},\ldots,W_{m,n}$ とします．この分割を $\Delta$ で表わします．つまり，

$$\begin{array}{ll} W = \{(x,y) : a \leq x \leq b, \ c \leq y ... ... y_{1} < \cdots < y_{n} = d \end{array} \right\} \end{array}$$

次に，

$$m_{ij} = \inf_{(x,y)\in W_{ij}}f(x,y) , \ M_{ij} = \sup_{(x,y)\in W_{ij}}f(x,y) \ \ (1 \leq i \leq m, \ 1 \leq j \leq n)$$

$$s_{\Delta} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}(x_{i}-x_{i-1})(y_... ... S_{\Delta} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$

とおくと， $s_{\Delta}$ は上に有界な集合で， $S_{\Delta}$ は下に有界な集合なので

$$s = \sup_{\Delta} s_{\Delta}, \ \ S = \inf_{\Delta} S_{\Delta}$$

が定まり，一般に $s \leq S$ が成り立ちます．ここで，特に $s = S$ が成り立つとき， $f(x,y)$ は $W$ で積分可能であるといいます．また，この共通の値を， $f(x,y)$ の 2重積分 といい， $f(x,y)$ は $W$ で2重積分可能(double integrable) であるといって，この値を次のように表わします．

$$\iint_{W}f(x,y)dxdy$$

また， $W_{i,j}$ の任意な点 $(\xi_{i},\eta_{j})$ に対して，

$$\lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{j})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) = \iint_{W}f(x,y) dxdy$$

が成り立ちます．ここで

$$\vert\Delta\vert = \max_{i,j} W_{ij} = \max_{i,j} \sqrt{(x_{i} - x_{i-1})^2 + (y_{j} - y_{j-1})^2}$$

有界閉領域上の2重積分

次に，有界閉領域 $\Omega$ 上の積分を考えます．

$xy$ 平面上の有界閉領域 $\Omega$ 上で定義された関数を $z = f(x,y)$ とします．図7.1 に示すように領域 $\Omega$ を内部に含む長方形を $W$ とし， $W$ を $x$ 軸， $y$ 軸に平行な直線で分割し，分割された小領域(小長方形)を $W_{1,1},W_{1,2},\ldots,W_{m,n}$ とします．この分割を $\Delta$ で表わします．ここで $\Omega$ の内部に完全に含まれる小長方形の面積の和を $a_{\Delta}$， $\Omega$ の点を含むすべての小長方形の和を $A_{\Delta}$ とします．すると $a_{\Delta}$ は上に有界な集合で， $A_{\Delta}$ は下に有界な集合です．これより，

$$a = \sup_{\Delta} a_{\Delta}, \ \ A = \inf_{\Delta} A_{\Delta}$$

が存在します．このとき， $a$ を $\Omega$ の 内面積(inner area)， $A$ を $\Omega$ の 外面積(outer area) といいます．特に， $a = A$ のとき， $\Omega$ は 面積確定(mesurable area) であるといいます．そして，この共通の値を $\Omega$ の面積といいます．

ここで，

$$\hat{f}(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} f(x,y) & (x,y) \in \Omega\\ 0 & (x,y) \in W - \Omega \end{array} \right.$$

とおきます．そのとき， $\hat{f}(x,y)$ が $W$ で積分可能であれば， $f(x,y)$ は $\Omega$ で積分可能であるといい， $f(x,y)$ の $\Omega$ 上の積分を次のように表わします．

$$\iint_{W}\hat{f}(x,y) dxdy = \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy$$

また， $W_{i,j}$ の任意な点 $(\xi_{i},\eta_{j})$ に対して，

$$\lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}... ...f}(\xi_{i},\eta_{j})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) = \iint_{W}\hat{f}(x,y) dxdy$$

が成り立ちます．

3変数関数 $f(x,y,z)$ についても2変数の場合と同様に，3重積分が定義され，これを

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$$

で表わします．2重積分以上を総称して，多重積分(multiple integral)または 重積分 といいます．

1変数のときと同じように，次の定理が成り立ちます．

定理 7..1  

$f(x,y)$ が面積確定である有界閉領域 $\Omega$ で連続ならば， $\Omega$ で $2$重積分可能である．

重積分の定義よりただちに次の公式が得られます．

定理 7..2  

[重積分公式] $f(x,y),g(x,y)$ が面積確定な有界閉領域 $\Omega$ において連続であるとき，次の等式が成り立つ．

$(1) \ a,b$ が定数ならば，

$$\iint_{\Omega}\{af(x,y) + bg(x,y)\}dxdy = a\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy + b\iint_{\Omega}g(x,y)dxdy$$

$(2) \ \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2}$ ならば

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \iint_{\Omega_{1}}f(x,y)dxdy + \iint_{\Omega_{2}}f(x,y)dxdy$$

$${(3) \ \vert\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy\vert \leq \iint_{\Omega}\vert f(x,y)\vert dxdy }$$
$(4)$ 平均値の定理

$S$ を領域 $\Omega$ の面積とするとき

$$\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = f(\xi,\eta)S$$

となるような点 $(\xi,\eta)$ が $\Omega$ 内に存在する．

証明 (1) $W$ を $\Omega$ を含む長方形， $S_{i,j}$ を $W_{i,j}$ の面積とすると，

$$\iint_{W}\{a\hat{f}(x,y) + b\hat{g}(x,y)\}dxdy = \lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{... ...1}^{n}\{a\hat{f}(\xi_{i},\eta_{j}) + b\hat{g}(\xi_{i},\eta_{j})\}\Delta S_{i,j}$$

$$= a\lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n... ...ightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\hat{g}(\xi_{i},\eta_{j})\Delta S_{i,j}$$

$$= a\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy + b\iint_{\Omega}g(x,y)dxdy$$

(2)，(3)，(4)の証明は各自に任せます． $\ \blacksquare$

演習問題

1.

上の定理7.1を証明しよう．