2重積分(double integrals)

**図 7.1:** 領域の分割
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=7cm]{CALCFIG/Fig7-1-1.eps} \end{center}\vskip -1cm \end{figure}$

3.7章で，区間で定義されている1変数関数の定積分をRiemann和を用いて定義しました．ここでは平面上の有界閉領域 $\Omega$ で定義されている2変数関数の定積分をフランスの数学者 Jean Gaston Darboux(1842-1917) によって用いられた方法で定義します．

長方形上の2重積分

平面上の長方形上で定義された関数をとします．次にを軸，軸に平行な直線で分割し，分割された小長方形を $W_{1,1},W_{1,2},\ldots,W_{m,n}$ とします．この分割を $\Delta$ で表わします．つまり，

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} W = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y ... ... y_{1} < \cdots < y_{n} = d \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath}$

次に，

$\displaystyle m_{ij} = \inf_{(x,y)\in W_{ij}}f(x,y) , M_{ij} = \sup_{(x,y)\in W_{ij}}f(x,y) (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$

$\displaystyle s_{\Delta} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}(x_{i}-x_{i-1})(y_... ... S_{\Delta} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$

とおくと， $s_{\Delta}$ は上に有界な集合で， $S_{\Delta}$ は下に有界な集合なので

$\displaystyle s = \sup_{\Delta} s_{\Delta}, S = \inf_{\Delta} S_{\Delta}$

が定まり，一般に $s \leq S$ が成り立ちます．ここで，特に

が成り立つとき，

は

で積分可能であるといいます．また，この共通の値を，

の 2重積分 といい，

は

で2重積分可能(double integrable) であるといって，この値を次のように表わします．

$\displaystyle \iint_{W}f(x,y)dxdy$

また， $W_{i,j}$ の任意な点 $(\xi_{i},\eta_{j})$ に対して，

$\displaystyle \lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{j})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) = \iint_{W}f(x,y) dxdy$

が成り立ちます．ここで

$\displaystyle \vert\Delta\vert = \max_{i,j} W_{ij} = \max_{i,j} \sqrt{(x_{i} - x_{i-1})^2 + (y_{j} - y_{j-1})^2}$

有界閉領域上の2重積分

次に，有界閉領域 $\Omega$ 上の積分を考えます．

平面上の有界閉領域 $\Omega$ 上で定義された関数をとします．図7.1 に示すように領域 $\Omega$ を内部に含む長方形をとし，を軸，軸に平行な直線で分割し，分割された小領域(小長方形)を $W_{1,1},W_{1,2},\ldots,W_{m,n}$ とします．この分割を $\Delta$ で表わします．ここで $\Omega$ の内部に完全に含まれる小長方形の面積の和を $a_{\Delta}$ ， $\Omega$ の点を含むすべての小長方形の和を $A_{\Delta}$ とします．すると $a_{\Delta}$ は上に有界な集合で， $A_{\Delta}$ は下に有界な集合です．これより，

$\displaystyle a = \sup_{\Delta} a_{\Delta}, A = \inf_{\Delta} A_{\Delta}$

が存在します．このとき，

を $\Omega$ の 内面積(inner area)，

を $\Omega$ の 外面積(outer area) といいます．特に，

のとき， $\Omega$ は 面積確定(mesurable area) であるといいます．そして，この共通の値を $\Omega$ の面積といいます．

ここで，

$\displaystyle \hat{f}(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} f(x,y) & (x,y) \in \Omega\\ 0 & (x,y) \in W - \Omega \end{array}\right.$

とおきます．そのとき， $\hat{f}(x,y)$ が

で積分可能であれば，

は $\Omega$ で積分可能であるといい，

の $\Omega$ 上の積分を次のように表わします．

$\displaystyle \iint_{W}\hat{f}(x,y) dxdy = \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy$

また， $W_{i,j}$ の任意な点 $(\xi_{i},\eta_{j})$ に対して，

$\displaystyle \lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}... ...f}(\xi_{i},\eta_{j})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) = \iint_{W}\hat{f}(x,y) dxdy$

が成り立ちます．

3変数関数についても2変数の場合と同様に，3重積分が定義され，これを

$\displaystyle \iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$

で表わします．2重積分以上を総称して，多重積分(multiple integral)または 重積分 といいます．

1変数のときと同じように，次の定理が成り立ちます．

定理 7..1

が面積確定である有界閉領域 $\Omega$ で連続ならば， $\Omega$ で

重積分可能である．

重積分の定義よりただちに次の公式が得られます．

定理 7..2

[重積分公式]

が面積確定な有界閉領域 $\Omega$ において連続であるとき，次の等式が成り立つ．

が定数ならば，

$\displaystyle \iint_{\Omega}\{af(x,y) + bg(x,y)\}dxdy = a\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy + b\iint_{\Omega}g(x,y)dxdy$

$(2) \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2}$ ならば

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \iint_{\Omega_{1}}f(x,y)dxdy + \iint_{\Omega_{2}}f(x,y)dxdy$

$\displaystyle{(3) \vert\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy\vert \leq \iint_{\Omega}\vert f(x,y)\vert dxdy }$

平均値の定理

を領域 $\Omega$ の面積とするとき

$\displaystyle \iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = f(\xi,\eta)S$

となるような点 $(\xi,\eta)$ が $\Omega$ 内に存在する．

証明 (1) を $\Omega$ を含む長方形， $S_{i,j}$ を $W_{i,j}$ の面積とすると，

$\displaystyle \iint_{W}\{a\hat{f}(x,y)$	$\displaystyle +$	$\displaystyle b\hat{g}(x,y)\}dxdy = \lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{... ...1}^{n}\{a\hat{f}(\xi_{i},\eta_{j}) + b\hat{g}(\xi_{i},\eta_{j})\}\Delta S_{i,j}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a\lim_{\vert\Delta\vert \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n... ...ightarrow 0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\hat{g}(\xi_{i},\eta_{j})\Delta S_{i,j}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy + b\iint_{\Omega}g(x,y)dxdy$

(2)，(3)，(4)の証明は各自に任せます． $\blacksquare$

演習問題

1.: 上の定理7.1を証明しよう．