3重積分(triple integrals)

図: 3重積分

2重積分と同様に3重積分も累次積分として表わすことができます．$xyz$ 空間の有界閉領域を $T$ とし， $T$ の $xy$ 平面への正射影を $\Omega_{xy}$ とすると， $T$ は

$$T = \{(x,y,z) : (x,y) \in \Omega_{xy}, \psi_{1}(x,y) \leq z \leq \psi_{2}(x,y) \}$$

で表わせます．これより

$$\iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz = \iint_{\Omega_{xy}}[\int_{\psi_{1}(x,y)}^{\psi_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy$$

が成り立ちます．さらに，

$$\Omega = \{(x,y) : a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x) \}$$

ならば，

$$\iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz = \int_{a}^{b}dx \int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}dy\int_{\psi_{1}(x,y)}^{\psi_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz$$

が成り立ちます．

3重積分についても2重積分の場合と同様に次の定理が成り立ちます．

定理 7..6  

変数変換 $\Phi : \left\{\begin{array}{c} x = \phi(u,v,w)\\ y = \psi(u,v,w)\\ z = \xi(u,v,w) \end{array}\right.$ によって， $xyz$空間の有界な閉領域 $T$ と $uvw$空間の有界な閉領域 $T^{\prime}$ が1対1に対応し， $\phi,\psi,\xi$ が $C^1$ 級で

$$J = J(u,v,w) = \left\vert\begin{array}{ccc} x_{u}&x_{v}&x_{w}\\ y_{u}&y_{v}&y_{w}\\ z_{u}&z_{v}&z_{w} \end{array}\right \vert \neq 0$$

とする．このとき， $f(x,y,z)$ が $T$ 上で連続ならば，

$$\iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{T^{\prime}}f(\phi(u,v,w),\psi(u,v,w),\xi(u,v,w))\vert J\vert dudvdw$$

が成り立つ．

ここで変数変換の中で特によく用いられる円柱座標変換と球面座標変換について学びます．

系 7..1  

[円柱座標変換]

$$\left\{\begin{array}{c} x = r\cos{\theta}\\ y = r\sin{\theta}\\ ... ...eta}&0\\ \sin{\theta}& r\cos{\theta} & 0\\ 0&0&1 \end{array}\right \vert = r$$

より

$$\iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{T^{\prime}}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta},z)dzrdrd\theta$$

例題 7..11  

$${T = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq 1, -\sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}\}}$$ のとき．次の値を求めてみましょう．

$$I = \iiint_{T} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} dxdydz$$

解 円柱座標変換を用いると， $T$ は

$$T' = \{(r,\theta, z) : 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi, - \sqrt{1 - r^2} \leq z \leq \sqrt{1 - r^2} \}$$

にうつるから，

$$I = \iiint_{T'}\frac{1}{\sqrt{1 - r^2}} rdzdrd\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{- \sqrt{1 - r^2}}^{\sqrt{1 - r^2}} \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}}dz$$

$$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2r dr = 2\pi \cdot \left[r^{2} \right ]_{0}^{1} = 2\pi \ \ensuremath{\ \blacksquare}$$

図: 円柱座標変換

系 7..2  

[球面座標変換]

$$\left\{\begin{array}{c} x = \rho\sin{\phi}\cos{\theta}\\ y = \rho\sin{\phi}\sin{\theta}\\ z = \rho\cos{\phi} \end{array}\right .$$

$$\vert J(\rho,\phi,\theta)\vert = \left\vert\begin{array}{ccc} \si... ...\\ \cos{\phi}&-\rho\sin{\phi}&0 \end{array}\right \vert = \rho^{2} \sin{\phi}$$

より

$$\iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{T^{\prime}}f(\rho\sin{\phi}\co... ...o\sin{\phi}\sin{\theta},\rho\cos{\phi})\rho^{2} \sin{\phi} d\rho d\phi d\theta$$

例題 7..12  

$${T = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}}$$ のとき，次の値を求めてみましょう．

$$I = \iiint_{T}\frac{dxdydz}{\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}}$$

解 球面座標変換を用いると，$T$ は

$$T' = \{(\rho,\phi,\theta) : 0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2\pi \}$$

にうつるから，

$$I = \iiint_{T'}\frac{\rho^{2} \sin{\phi}}{\sqrt{1 - \rho^2}} d\rho d\phi d\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi} \sin{\phi} d\phi \int_{0}^{1} \frac{\rho^2}{\sqrt{1 - \rho^2}} d \rho$$

$$= 2\pi \cdot 2 \cdot \left[\frac{1}{2}\left(- \rho \sqrt{1 - \rho^2} + \sin^{-1}{\rho} \right) \right ]_{0}^{1}$$

$$= 4\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi^2 \ \ensuremath{\ \blacksquare}$$

図: 球面座標変換

2重積分の応用で $dx dy$ を面積として考えました．同じようにして，ここでは， $dx dy dz$ を体積として考えることができます．

もし密度 $\rho$ がそれぞれの点で連続的に変化し， $\rho = f(x,y,z)$ ならば，立体$T$ の質量$M$ は

$$M = \iiint_{T}f(x,y,z)dxdydz$$

で表わせます．特に密度 $\rho = f(x,y,z) = 1$ のとき

$$\iiint_{T}dxdydz$$

は立体$T$ の体積と考えることができます．

例題 7..13  

次の図7.19のような三角錐$T$ の体積を求めてみましょう．

図: 三角錐

解 3重積分を計算するために $T$ を適当な座標軸面に正射影します．ここでは $xy$ 平面に正射影します．ここでV-simpleを用いると

$$\Omega_{xy} = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x \}$$

これより

$$T = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq z \leq 1-x-y \}$$

よって

$$V = \iint_{\Omega_{xy}}[\int_{0}^{1-x-y}dz]dxdy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)dydx$$

$$= \int_{0}^{1} \left[(1-x)y - \frac{y^2}{2}\right ]_{0}^{1-x} dx = \int_{0}^{1}\frac{(1-x)^{2}}{2}dx$$

$$= - \left[\frac{(1-x)^{3}}{6}\right ]_{0}^{1} = \frac{1}{6}$$

となります． $\ \blacksquare$

実際，体積を求めるのが目的ならば，底面積$\times$高さ $${\times \frac{1}{3}}$$ よりすぐに求まります．そこで，ここでは，三角錐の各点における密度が異なる場合を考えてみます．

例題 7..14  

この三角錐$T$ の密度が $\rho(x,y,z) = xy$ のときの質量を求めてみましょう．

解

$$M = \iiint_{T}xydxdydz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}xy dzdydx$$

ここで

$$\int_{0}^{1-x-y}xydz = xy(1-x-y) = x(1-x)y - xy^2$$

より

$$\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}xydzdy = \int_{0}^{1-x}(x(1-x)y - xy^2)dy$$

$$= \left[\frac{1}{2}x(1-x)y^2 - \frac{1}{3}xy^3\right ]_{0}^{1-x} = \frac{1}{6}x(1-x)^{3}$$

よって

$$M = \int_{0}^{1}\frac{1}{6}x(1-x)^{3}dx = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}(x-3x^2 + 3x^3 - x^4)dx$$

$$= \frac{1}{6}\left[\frac{1}{2}x^2 - x^3 + \frac{3}{4}x^4 -\frac{1}{5}x^5\right ]_{0}^{1} = \frac{1}{120} \ensuremath{\ \blacksquare}$$

体積，質量と求めてきたので最後に重心を求めてみましょう．まず平面上に $n$ 個の点 ${\rm P}_{1}, {\rm P}_{2}, \ldots, {\rm P}_{n}$ からなる質点系があって，点 ${\rm P}_{i}$ の座標は ${\rm P}_{i}(x_{i},y_{i})$．また ${\rm P}_{i}$ の質量が $M_{i}$ で与えられているとします．このときこれらの点がつりあうように $x$ 軸に垂直な線 $x = \bar x$ を引くと，この線に対して反時計回りのモーメントと時計回りのモーメントはつりあっているはずです．よって

$$\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i} - \bar x) = 0$$

書き直すと

$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^{n}M_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}M_{i}}$$

同様に

$$\bar y = \frac{\sum_{i=1}^{n}M_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}M_{i}}$$

このようにして表わされた点 $(\bar x, \bar y)$ を 質点系の重心(centroid) といいます．

図: 質点系の重心

平面上の有界閉領域 $\Omega$ の各点 ${\rm P}(x,y)$ に密度 $\rho(x,y)$ が与えられているときは， $\Omega$ の分割 $\Delta : \Omega_{1},\Omega_{2},\ldots,\Omega_{n}$ をとり，それぞれの $\Omega_{i}$ の中から任意に点 ${\rm P}_{i}(x_{i},y_{i})$ を選び，質点系 ${\rm P}_{1}, {\rm P}_{2}, \ldots, {\rm P}_{n}$ の重心 $(x_{\Delta},y_{\Delta})$ を考えます． $\Omega_{i}$ の面積を $\Delta S_{i}$ とおくと

$$x_{\Delta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}\rho({\rm P}_{i})x_{i}\Delta S_{... ...ho({\rm P}_{i})y_{i}\Delta S_{i}}{\sum_{i=1}^{n}\rho({\rm P}_{i})\Delta S_{i}}$$

となります．ここで $\vert\Delta\vert \rightarrow 0$ とすると $x_{\Delta},y_{\Delta}$ はそれぞれ次の $\bar x, \bar y$ に収束します．

$$\bar x = \frac{1}{M}\iint_{\Omega}\rho(x,y)xdxdy, \ \ \bar y = \frac{1}{M}\iint_{\Omega}\rho(x,y)ydxdy$$

ただし， $M = \iint_{\Omega}\rho(x,y)dxdy$ で質量(mass)を表わします．

空間の閉領域 $T$ に，密度 $\rho = \rho(x,y,z)$ が与えられている場合にも，同様にして重心 $(\bar x, \bar y, \bar z)$ が次のように定まります．

$$\bar x = \frac{1}{M}\iiint_{T}\rho(x,y,z)xdxdydz, \ \ \bar y = \frac{1}{M}\iiint_{T}\rho(x,y,z)ydxdydz$$

$$\bar z = \frac{1}{M}\iiint_{T}\rho(x,y,z)zdxdydz, \ \ M = \iiint_{T}\rho(x,y,z)dxdydz$$

例題 7..15  

さて，重心の復習が終わったところで上の三角錐$T$ の重心を求めてみましょう．

解

$$\bar x = \frac{1}{M}\iiint_{T}xyxdxdydz$$

$$= \frac{1}{M}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}x^2 ydzdydx$$

$$= \frac{1}{M}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}y(1-x-y)dydx$$

$$= \frac{1}{M}\int_{0}^{1}\left[(\frac{x^{2}(1-x)y^{2}}{2} - \frac{x^{2}y^{3}}{3})\right ]_{0}^{1-x}dx$$

$$= \frac{1}{M}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}(1-x)^{3}}{6} dx = \frac{1}{6M}\int_{0}^{1}(x^{2} - 3x^{3} + 3x^{4} - x^{5}) dx$$

$$= \frac{1}{6M}\left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{4}}{4} + \frac{3x^{5}}{5} - \frac{x^{6}}{6} \right ]_{0}^{1} = \frac{1}{360M}$$

ここで $${M = \frac{1}{120}}$$ より $${\bar x = \frac{1}{3}}$$．残りの $\bar y,\bar z$ は各自求めて下さい． $\ \blacksquare$

確認問題

1.

次の3重積分を求めよう．

(a) $${\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\int_{0}^{c} dxdydz}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{y} ydzdydx}$$

2.

次のものを累次3重積分で表そう．値は求めなくてもよい

(a) ボール $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq r^{2}$の質量．ただし，密度は中心からの距離に比例するとする．

(b) 平面$z = 1$と曲面 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$で囲まれた円錐の質量．ただし，密度は原点からの距離に比例するとする．

(c) 放物面 $z = 4 - x^{2} - y^{2}$と曲面 $z = 2 + y^{2}$で囲まれた部分の体積．

3.

次の閉領域の重心を求めよう．

(a) 密度一定のとき， $y = x$ と $${y = x^2}$$ とで囲まれた閉領域

(b) 密度一定のとき， $x^{2} = 4y$ と $${x - 2y + 4 = 0}$$ とで囲まれた閉領域

(c) 密度一定のとき， $y = x^{2} - 2x$ と $${y = 6x - x^{2}}$$ とで囲まれた閉領域

演習問題

1.

$${T = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq y \leq z \leq 1 \}}$$ のとき，次の3重積分を求めよう．

(a) $${\iiint_{T} dx dydz}$$ (b) $${\iiint_{T}e^{x+y+z} dxdydz }$$

2.

次の3重積分を求めよう．

(a) $${\iiint_{T} dx dydz, \ T = \{(x,y,z):\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq 3 \}}$$

(b) $${\iiint_{T}(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz, T = \{(x,y,z):\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\} }$$

3.

次の閉領域の重心を求めよう．

(a) 密度一定のとき， $y = x$ と $${y = 6x - x^2}$$ とで囲まれた閉領域

(b) 密度が中心からの距離に比例するときの，半球 $${x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2, z \geq 0}$$

(c) 密度一定のとき，底面の半径が $a$，高さが $h$ の直円錐．

(d) 密度一定のとき， $${ax \leq x^2 + y^2 \leq a^2}$$ であらわせる領域

(e) 例題7.6の三角錐の重心 $\bar y,\bar z$

(f) 密度が原点からの距離に比例するときの， $${ax \leq x^2 + y^2 \leq a^2}$$ であらわせる領域