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陰関数(implicit functions)

方程式 $ 3x + 2y + 1 = 0$ から， $ x$ の関数としての $ y$つまり $ \displaystyle{y = -\frac{1 - 3x}{2}}$ を考えることができます．一般に2変数関数 $ f(x,y)$ に対して，1変数関数 $ y = g(x)$ が常に $ f(x,g(x)) = 0$ を満たすとき， $ y = g(x)$ を方程式 $ f(x,y) = 0$ から定まる陰関数(implicit function) といいます．

$ f(x,y) = 0$ から定まる陰関数 $ y = g(x)$ を求めることは， $ f(x,y) = 0$ を $ y$ について解くことと同じです．しかし $ f$ の形によっては，ある $ x$ の値に対して， $ f(x,y) = 0$ を満たす $ y$ の値は1つもないことがあります．そこでどんな場合に陰関数が存在するかが問題になります．これについて，次の定理があります．

定理 6..9  

[陰関数の存在定理] $ {\bf x}_{0} = (x_{0},y_{0})$ を含む領域 $ D$ で $ f(x,y)$ は $ C^{1}$ 級とする．

$\displaystyle f(x_{0},y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0 $

ならば， $ x = x_{0}$ の近傍で $ f(x,y) = 0$ の定める陰関数 $ y = g(x)$ がただ1つ定まり，次の関係が成り立つ．
  $\displaystyle (1)$ $\displaystyle f(x,g(x)) = 0$  
  $\displaystyle (2)$ $\displaystyle g(x_{0}) = y_{0}$  
  $\displaystyle (3)$ $\displaystyle \ g(x)はC^{1}級で，\frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}(x,y)}{f_{y}(x,y)}$  


つまり， $ f_{y}(x,y) \neq 0$ となる点の近くでは(1)を満足する陰関数 $ y$ が存在し．さらに $ x$ に関して微分可能であることが証明されています．だから(1)の両辺の全微分をとると

$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy = 0 $

したがって条件 $ f_{y} \neq 0$ により

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} $

と形式的に(3)を導き出すことができます．さらに上の式を $ x$ について微分すると

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^2} = -\frac{\frac{df_{x}}{dx}f_{y} - f_{x}\frac{df_{y}}{dx}}{f_{y}^{2}} $

ここで

$\displaystyle \frac{df_{x}}{dx} = f_{xx} + f_{xy}\frac{dy}{dx} = f_{xx} - f_{xy}\frac{f_{x}}{f_{y}} $

$\displaystyle \frac{df_{y}}{dx} = f_{yx} + f_{yy}\frac{dy}{dx} = f_{xy} - f_{yy}\frac{f_{x}}{f_{y}} $

を用いると



$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{(f_{xx} - f_{xy}\frac{f_{x}}{f_{y}})f_{y} - f_{x}(f_{xy} - f_{yy}\frac{f_{x}}{f_{y}})}{f_{y}^{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{f_{xx}f_{y}^{2} - 2f_{xy}f_{x}f_{y} + f_{yy}f_{x}^{2}}{f_{y}^{3}}$  


となります．

例題 6..22  

次の式から定まる陰関数について， $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ を求めてみましょう．

$\displaystyle x^{2} + y^{2} = 3xy $

解 $ f(x,y) = x^{2} + y^{2} - 3xy$ とおき， $ f(x,y)$ の全微分を求めると，

$\displaystyle df = f_{x}dx + f_{y}dy = (2x - 3y)dx + (2y - 3x)dy = 0 $

したがって，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2x-3y}{2y-3x} $

また $ f_{xx} = 2, f_{xy} = -3, f_{yy} = 2$ なので，

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{2(2y-3x)^{2} + 6(2x-3y)(2y-3x) + 2(2x-3y)^{2}}{(2y-3x)^{3}} = \frac{10(x^2 - 3xy + y^2)}{(2y - 3x)^{2}} $

となります． $ \blacksquare$

2変数関数のときと同じように3変数関数 $ f(x,y,z)$ において，

$\displaystyle f(x,y,z) = 0 $

から定まる $ x,y$ の陰関数 $ z = g(x,y)$ について考えることができます．

例題 6..23  

$ xy + yz + zx = 1$ から定まる $ x,y$ の陰関数 $ z = g(x,y)$ について $ \displaystyle{z_{x}, z_{y}}$ を求めてみましょう．

解 $ f(x,y,z) = xy + yz + zx - 1$ の全微分をとると

$\displaystyle df = f_{x}dx + f_{y}dy + f_{z}dz = (y + z)dx + (x+z)dy + (y + x)dz = 0$

なお $ z = g(x,y)$ より

$\displaystyle dz = z_{x}dx + z_{y}dy$

よって

$\displaystyle (y+z + (y+x)z_{x})dx + (x+z + (y+z)z_{y})dy = 0 $

ここで $ x$ と $ y$ は独立変数であることに注意すると，

$\displaystyle z_{x} = -\frac{y+z}{y+x}, z_{y} = - \frac{x+z}{y+z} $

となります． $ \blacksquare$

次に2つの式 $ f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0$ から $ y, z$ が $ x$ の陰関数として定まる場合について考えてみましょう．

例題 6..24  

$ \displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = 1, 2x + 3y - z = 1}$ から， $ y, z$ が $ x$ の関数として定まるとき $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$ を求めてみましょう.

解 $ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 , g(x,y,z) = 2x + 3y - z - 1 = 0$ とおき，全微分をとると，

$\displaystyle df = 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0, dg = 2dx + 3dy - dz = 0 $

これより $ dz$ を消去すると

$\displaystyle (2x+4z)dx + (2y+6z)dy = 0$

したがって，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2x+4z}{2y+6z} $

同様にして，$ dy$ を消去すると

$\displaystyle (6x-4y)dx + (6z + 2y)dz = 0 $

したがって，

$\displaystyle \frac{dz}{dx} = -\frac{6x-4y}{6z+2y} $

となります． $ \blacksquare$

*陰関数の極値 $ f(x,y) = 0$ から定まる陰関数 $ y = g(x)$ の極値を考えてみましょう．まず $ x = x_{0}$ で極値 $ y_{0} = g(x_{0})$ をとるとすると，陰関数の存在定理より

$\displaystyle f(x_{0},y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0 $

また， $ y = g(x)$ が極値をとるためには $ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = 0}$ でなければならないので

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} = 0 $

よって $ f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0$．次に $ y_{0} = g(x_{0})$ が極小値か極大値か調べるために， $ \displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^2}}$ を求めると

$\displaystyle \frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{y}^{2}(... ...0})}{f_{y}^{3}(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} $

これより，

$\displaystyle \frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} > 0 $

ならば $ x = x_{0}$ で極小値 $ y_{0} = g(x_{0})$，

$\displaystyle \frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} < 0 $

ならば $ x = x_{0}$ で極大値 $ y_{0} = g(x_{0})$．ここまでをまとめると次の定理を得ます．

定理 6..10  

ある領域で $ f(x,y)$ は $ C^2$ 級とする． $ f(x,y) = 0$ より定まる陰関数 $ y = g(x)$ が $ x = x_{0}$ で極値 $ y_{0} = g(x_{0})$ をとるならば，

$\displaystyle f(x_{0},y_{0}) = 0, f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0 $

さらに

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} > 0 $   ならば$\displaystyle y_{0} = g(x_{0})$   極小値である．$\displaystyle $

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} < 0 $   ならば$\displaystyle y_{0} = g(x_{0})$   極大値である．$\displaystyle $


例題 6..25  

$ \displaystyle{x^4 + 2x^2 + y^3 - y = 0}$ から定まる $ x$ の関数 $ y = g(x)$ の極値を求めてみましょう．

解 まず， $ f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$ を満たす $ (x,y)$ を求めます．

$\displaystyle f(x,y) = x^4 + 2x^2 + y^3 - y = 0, f_{x}(x,y) = 4x^3 + 4x = 0$

より $ (x,y) = (0,0),(0,1),(0,-1)$．次に

$\displaystyle f_{xx} = 12x^2 + 4, f_{y} = 3y^2 -1 $

より $ \displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ を計算すると

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^2}\mid_{(0,0)} = -\frac{f_{xx}(0,0)}{f_{y}(0,0)} = -\frac{4}{-1} = 4 > 0 $

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^2}\mid_{(0,\pm 1)} = -\frac{f_{xx}(0,\pm 1)}{f_{y}(0,\pm 1)} = -\frac{4}{2} = -2 < 0 $

したがって， $ x = 0$ のときの $ y = 0$ は極小値， $ x = 0$ のときの $ y = 1$ は極大値， $ x = 0$ のときの $ y = -1$ も極大値です． $ \blacksquare$

確認問題


1.
次の式から定まる陰関数について， $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{x - y^{2} = 1}$ (b) $ \displaystyle{x^{2} + xy + 2y^{2} = 1}$ (c) $ \displaystyle{x - e^{y} = 0}$

(d) $ \displaystyle{x^{3} - 3xy + y^{3} = 1}$

2.
次の式から定まる陰関数について， $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{x^2 +y^2 + z^2 = 4, x + y + z = 1}$ (b) $ \displaystyle{xyz = 1, x + y + z = 1}$

演習問題


1.
次の式から定まる陰関数について， $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{2x^2+ 5xy - 3y^2 = 1}$ (b) $ \displaystyle{y = e^{x+y}}$ (c) $ \displaystyle{x^2 - y^2 = xy}$

(d) $ \displaystyle{\log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}}$

2.
次の式から定まる陰関数について， $ \displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{x^2 +y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 4x}$ (b) $ \displaystyle{xyz = 1, xy + yz + zx = 1}$

3.
楕円 $ 2x^2 + 5y^2 = 12$ 上の点 $ (1,\sqrt{2})$における接線と法線を求めよう．
4.
曲面 $ \displaystyle{z = \tan^{-1}\frac{y}{x}}$ 上の点 $ (1,1,\frac{\pi}{2})$における接平面と法線を求めよう．
5.
次の式から定まる陰関数 $ y = g(x)$ の極値を求めよう．

(a) $ \displaystyle{8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$ (b) $ \displaystyle{x^{2}y + x + y = 0}$

(c) $ \displaystyle{x^3 + y^3 - 6xy = 0}$

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