陰関数(implicit functions)

方程式 $3x + 2y + 1 = 0$ から， $x$ の関数としての $y$つまり $${y = -\frac{1 - 3x}{2}}$$ を考えることができます．一般に2変数関数 $f(x,y)$ に対して，1変数関数 $y = g(x)$ が常に $f(x,g(x)) = 0$ を満たすとき， $y = g(x)$ を方程式 $f(x,y) = 0$ から定まる陰関数(implicit function) といいます．

$f(x,y) = 0$ から定まる陰関数 $y = g(x)$ を求めることは， $f(x,y) = 0$ を $y$ について解くことと同じです．しかし $f$ の形によっては，ある $x$ の値に対して， $f(x,y) = 0$ を満たす $y$ の値は1つもないことがあります．そこでどんな場合に陰関数が存在するかが問題になります．これについて，次の定理があります．

定理 6..9  

[陰関数の存在定理] ${\bf x}_{0} = (x_{0},y_{0})$ を含む領域 $D$ で $f(x,y)$ は $C^{1}$ 級とする．

$$f(x_{0},y_{0}) = 0, \ f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$$

ならば， $x = x_{0}$ の近傍で $f(x,y) = 0$ の定める陰関数 $y = g(x)$ がただ1つ定まり，次の関係が成り立つ．

$$(1) \ f(x,g(x)) = 0$$

$$(2) \ g(x_{0}) = y_{0}$$

$$(3) \ g(x)はC^{1}級で，\frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}(x,y)}{f_{y}(x,y)}$$

つまり， $f_{y}(x,y) \neq 0$ となる点の近くでは(1)を満足する陰関数 $y$ が存在し．さらに $x$ に関して微分可能であることが証明されています．だから(1)の両辺の全微分をとると

$$f_{x}dx + f_{y}dy = 0$$

したがって条件 $f_{y} \neq 0$ により

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}}$$

と形式的に(3)を導き出すことができます．さらに上の式を $x$ について微分すると

$$\frac{d^{2}y}{dx^2} = -\frac{\frac{df_{x}}{dx}f_{y} - f_{x}\frac{df_{y}}{dx}}{f_{y}^{2}}$$

ここで

$$\frac{df_{x}}{dx} = f_{xx} + f_{xy}\frac{dy}{dx} = f_{xx} - f_{xy}\frac{f_{x}}{f_{y}}$$

$$\frac{df_{y}}{dx} = f_{yx} + f_{yy}\frac{dy}{dx} = f_{xy} - f_{yy}\frac{f_{x}}{f_{y}}$$

を用いると

$$\frac{d^{2}y}{dx^2} = -\frac{(f_{xx} - f_{xy}\frac{f_{x}}{f_{y}})f_{y} - f_{x}(f_{xy} - f_{yy}\frac{f_{x}}{f_{y}})}{f_{y}^{2}}$$

$$= -\frac{f_{xx}f_{y}^{2} - 2f_{xy}f_{x}f_{y} + f_{yy}f_{x}^{2}}{f_{y}^{3}}$$

となります．

例題 6..22  

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めてみましょう．

$$x^{2} + y^{2} = 3xy$$

解 $f(x,y) = x^{2} + y^{2} - 3xy$ とおき， $f(x,y)$ の全微分を求めると，

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy = (2x - 3y)dx + (2y - 3x)dy = 0$$

したがって，

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x-3y}{2y-3x}$$

また $f_{xx} = 2, \ f_{xy} = -3, \ f_{yy} = 2$ なので，

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{2(2y-3x)^{2} + 6(2x-3y)(2y-3x) + 2(2x-3y)^{2}}{(2y-3x)^{3}} = \frac{10(x^2 - 3xy + y^2)}{(2y - 3x)^{2}}$$

となります． $\ \blacksquare$

2変数関数のときと同じように3変数関数 $f(x,y,z)$ において，

$$f(x,y,z) = 0$$

から定まる $x,y$ の陰関数 $z = g(x,y)$ について考えることができます．

例題 6..23  

$xy + yz + zx = 1$ から定まる $x,y$ の陰関数 $z = g(x,y)$ について $${z_{x}, \ z_{y}}$$ を求めてみましょう．

解 $f(x,y,z) = xy + yz + zx - 1$ の全微分をとると

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy + f_{z}dz = (y + z)dx + (x+z)dy + (y + x)dz = 0$$

なお $z = g(x,y)$ より

$$dz = z_{x}dx + z_{y}dy$$

よって

$$(y+z + (y+x)z_{x})dx + (x+z + (y+z)z_{y})dy = 0$$

ここで $x$ と $y$ は独立変数であることに注意すると，

$$z_{x} = -\frac{y+z}{y+x}, \ z_{y} = - \frac{x+z}{y+z}$$

となります． $\ \blacksquare$

次に2つの式 $f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0$ から $y, z$ が $x$ の陰関数として定まる場合について考えてみましょう．

例題 6..24  

$${x^2 + y^2 + z^2 = 1, \ 2x + 3y - z = 1}$$ から， $y, z$ が $x$ の関数として定まるとき $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{dz}{dx}}$$ を求めてみましょう.

解 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 , g(x,y,z) = 2x + 3y - z - 1 = 0$ とおき，全微分をとると，

$$df = 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0, \ dg = 2dx + 3dy - dz = 0$$

これより $dz$ を消去すると

$$(2x+4z)dx + (2y+6z)dy = 0$$

したがって，

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+4z}{2y+6z}$$

同様にして，$dy$ を消去すると

$$(6x-4y)dx + (6z + 2y)dz = 0$$

したがって，

$$\frac{dz}{dx} = -\frac{6x-4y}{6z+2y}$$

となります． $\ \blacksquare$

*陰関数の極値 $f(x,y) = 0$ から定まる陰関数 $y = g(x)$ の極値を考えてみましょう．まず $x = x_{0}$ で極値 $y_{0} = g(x_{0})$ をとるとすると，陰関数の存在定理より

$$f(x_{0},y_{0}) = 0, \ f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$$

また， $y = g(x)$ が極値をとるためには $${\frac{dy}{dx} = 0}$$ でなければならないので

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} = 0$$

よって $f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0$．次に $y_{0} = g(x_{0})$ が極小値か極大値か調べるために， $${\frac{d^{2}y}{dx^2}}$$ を求めると

$$\frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{y}^{2}(... ...0})}{f_{y}^{3}(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})}$$

これより，

$$\frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} > 0$$

ならば $x = x_{0}$ で極小値 $y_{0} = g(x_{0})$，

$$\frac{d^{2}y(x_{0})}{dx^2} < 0$$

ならば $x = x_{0}$ で極大値 $y_{0} = g(x_{0})$．ここまでをまとめると次の定理を得ます．

定理 6..10  

ある領域で $f(x,y)$ は $C^2$ 級とする． $f(x,y) = 0$ より定まる陰関数 $y = g(x)$ が $x = x_{0}$ で極値 $y_{0} = g(x_{0})$ をとるならば，

$$f(x_{0},y_{0}) = 0, \ f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0, \ f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$$

さらに

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} > 0 \$$   ならば$$\ y_{0} = g(x_{0})$$   極小値である．$$$$

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} < 0 \$$   ならば$$\ y_{0} = g(x_{0})$$   極大値である．$$$$

例題 6..25  

$${x^4 + 2x^2 + y^3 - y = 0}$$ から定まる $x$ の関数 $y = g(x)$ の極値を求めてみましょう．

解 まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$ を満たす $(x,y)$ を求めます．

$$f(x,y) = x^4 + 2x^2 + y^3 - y = 0, \ f_{x}(x,y) = 4x^3 + 4x = 0$$

より $(x,y) = (0,0),(0,1),(0,-1)$．次に

$$f_{xx} = 12x^2 + 4, \ f_{y} = 3y^2 -1$$

より $${\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を計算すると

$$\frac{d^{2}y}{dx^2}\mid_{(0,0)} = -\frac{f_{xx}(0,0)}{f_{y}(0,0)} = -\frac{4}{-1} = 4 > 0$$

$$\frac{d^{2}y}{dx^2}\mid_{(0,\pm 1)} = -\frac{f_{xx}(0,\pm 1)}{f_{y}(0,\pm 1)} = -\frac{4}{2} = -2 < 0$$

したがって， $x = 0$ のときの $y = 0$ は極小値， $x = 0$ のときの $y = 1$ は極大値， $x = 0$ のときの $y = -1$ も極大値です． $\ \blacksquare$

確認問題

1.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めよう．

(a) $${x - y^{2} = 1}$$ (b) $${x^{2} + xy + 2y^{2} = 1}$$ (c) $${x - e^{y} = 0}$$

(d) $${x^{3} - 3xy + y^{3} = 1}$$

2.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{dz}{dx}}$$ を求めよう．

(a) $${x^2 +y^2 + z^2 = 4, x + y + z = 1}$$ (b) $${xyz = 1, x + y + z = 1}$$

演習問題

1.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めよう．

(a) $${2x^2+ 5xy - 3y^2 = 1}$$ (b) $${y = e^{x+y}}$$ (c) $${x^2 - y^2 = xy}$$

(d) $${\log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}}$$

2.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \ \frac{dz}{dx}}$$ を求めよう．

(a) $${x^2 +y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 4x}$$ (b) $${xyz = 1, xy + yz + zx = 1}$$

3.

楕円 $2x^2 + 5y^2 = 12$ 上の点 $(1,\sqrt{2})$における接線と法線を求めよう．

4.

曲面 $${z = \tan^{-1}\frac{y}{x}}$$ 上の点 $(1,1,\frac{\pi}{2})$における接平面と法線を求めよう．

5.

次の式から定まる陰関数 $y = g(x)$ の極値を求めよう．

(a) $${8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$$ (b) $${x^{2}y + x + y = 0}$$

(c) $${x^3 + y^3 - 6xy = 0}$$