条件付極値(extremum with side conditions)

$\phi(x,y) = 0$ という条件のもとで， $f(x,y)$ の極値を求める問題を考えてみましょう．

$\phi(x,y) = 0$ より $\phi_{y}(x,y) \neq 0$ ならば $\phi(x,y) = 0$ を満たす陰関数 $y = g(x)$ が定まります．いま $z = f(x,g(x))$ が $(x_{0},y_{0})$ で極値をとるとすると， $y_{0} = g(x_{0})$ かつ $z_{x} = 0$ より，

$$f_{x}(x_{0},y_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})g^{\prime}(x_{0}) = 0$$

また $\phi(x,y) = 0$ を $x$ で微分すると

$$\phi_{x}(x_{0},y_{0}) + \phi_{y}(x_{0},y_{0})g^{\prime}(x_{0}) = 0$$

よって

$$f_{x}(x_{0},y_{0}) - f_{y}(x_{0},y_{0})\frac{\phi_{x}(x_{0},y_{0})}{\phi_{y}(x_{0},y_{0})} = 0$$

ここで

$$\frac{f_{y}(x_{0},y_{0})}{\phi_{y}(x_{0},y_{0})} = \lambda$$

とおくと

$$f_{x}(x_{0},y_{0}) - \lambda \phi_{x}(x_{0},y_{0}) = 0$$

を満たす $\lambda$ が存在することが分かります．これより次の定理を得ます．

定理 6..11  

[Lagrangeの乗数法] 条件 $\phi(x,y) = 0$ のもとで， $f(x,y)$ が極値をとる $x,y$ の値は，

$$F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda \phi(x,y)$$

とおいて，

$$F_{\lambda}(x,y) = -\phi(x,y) = 0, F_{x}(x,y) = 0, F_{y}(x,y) = 0$$

の解として得られる．

この定理は幾何学的に考えると次のように考えることができます． $\phi(x,y) = 0$ よりベクトル $\nabla \phi(x,y)$ は曲線 $\phi(x,y) = 0$ と直交します．また $f(x,y)$ が条件 $\phi(x,y) = 0$ のもとで極値をとるということは， $z = f(x,y)$ の等高線 $f(x,y) = c$ と $\phi(x,y) = 0$ が共有点を持つときの $c$ の値の極値のことです．したがって， $f(x,y)$ が $(x_{0},y_{0})$ で極値をとるならば，この点において， $\phi(x_{0},y_{0}) = 0$ と $f(x,y) = c$ は接することになります．よって $\nabla \phi(x_{0},y_{0})$ と $\nabla f(x_{0},y_{0})$ は平行となり，

$$\nabla f(x,y) = \lambda \nabla \phi(x,y)$$

を満たす $\lambda$ が存在するのです．

すでに外積(ベクトル積)を学んだ人は， $\nabla \phi(x_{0},y_{0})$ と $\nabla f(x_{0},y_{0})$ は平行より次の式を得ることができます．

$$\nabla \phi(x_{0},y_{0}) \times \nabla f(x_{0},y_{0}) = \hat{\bf ... ...ay}{cc} \phi_{x} & \phi_{y} \\ f_{x} & f_{y} \end{array}\right \vert = {\bf0}$$

例題 6..26  

$${x^2 + y^2 = 4}$$ のとき， $${3x^2 + 4xy + 3y^2}$$ の極値を求めてみましょう．

解 $\phi(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0, f(x,y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2$ より，

$$F(x,y,\lambda) = 3x^2 + 4xy + 3y^2 - \lambda(x^2 + y^2 - 4 )$$

とおくと

$$F_{\lambda} = 0 x^2 + y^2 - 4 = 0$$ (6.2)

$$F_{x} = 0 (3-\lambda)x + 2y = 0$$ (6.3)

$$F_{y} = 0 2x + (3-\lambda)y = 0$$ (6.4)

$(x,y) = (0,0)$ は式6.2を満たしません．そこで式6.3，6.4が $(x,y) \neq (0,0)$ という解を持つ条件は，

$$\left\vert\begin{array}{cc} 3- \lambda & 2\\ 2 & 3-\lambda \end{array}\right \vert = 0$$

つまり， $\lambda^2 -6\lambda + 5 = 0$． すなわち $\lambda = 1, 5$ となります．

$\lambda = 1$ のとき，式6.2，6.3より $(x,y) = (\sqrt{2},-\sqrt{2}), (-\sqrt{2},\sqrt{2})$． これらに対して， $3x^2 + 4xy + 3y^2$ の値は $4$ となります．

$\lambda = 5$ のとき，式6.2，6.3より $(x,y) = (\sqrt{2},\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$．これらに対して， $3x^2 + 4xy + 3y^2$ の値は $20$ となります．

一方， $\{(x,y): x^2 + y^2 = 4\}$ は有界閉集合であり，この上で $3x^2 + 4xy + 3y^2$ は連続なので，最大・最小値の定理より最大値，最小値をもちます．これらは極値でもあるので，上で求めた結果より，極値であれば，それは4か20のはずです．よって，最大値は20，最小値は4となります． $\blacksquare$

例題 6..27  

点 $(1,-1,2)$ から曲面 $${x^2 - 2y + 2z -10 = 0}$$ までの最短距離を求めてみましょう．

解 点 $(1,-1,2)$ と与えられた平面上の点 $(x,y,z)$ との距離を $f(x,y,z)$ とし， $f^{2}$ の最小値を求めます．

$$\left\{\begin{array}{c} f^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 \\ x^{2}-2y+2z -10 = 0 \end{array}\right .$$

より

$$F(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - \lambda(x^{2}-2y+2z -10)$$

とおくと

$$F_{\lambda} = 0 x^{2}-2y+2z -10 = 0$$ (6.5)

$$F_{x} = 0 2(x-1) - 2x \lambda = 0$$ (6.6)

$$F_{y} = 0 2(y+1) + 2\lambda = 0$$ (6.7)

$$F_{z} = 0 2(z-2) - 2\lambda = 0$$ (6.8)

式6.6,6.7,6.8より

$$x = \frac{1}{1-\lambda}, y = -1-\lambda, z = 2+\lambda$$

これらを式6.5 に代入すると

$$(\frac{1}{1-\lambda})^{2} -2(-1-\lambda)+2(2+\lambda) - 10 =0$$

これより

$$\left(\frac{1}{1 - \lambda}\right)^2 = 4(1 - \lambda)$$

これを $\lambda$ について解くと

$$\lambda = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}$$

したがって

$$x = 2^{2/3}, y = -2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}, z = 3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}$$

を得ます．これは曲面上の点の座標です．ところで $f^{2}$ の値は，いくらでも大きい値をとることができるので，ここでの極値は極小値で，しかも唯一の極値ということから最小値となります． $\blacksquare$

確認問題

1.

次の条件 $g(x,y) = 0$ のもとでの $f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよう．

(a) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = x^{2} + 3y^2}$$

(b) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 4, f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x}$$

(c) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = xy + x + y}$$

2.

楕円 $x^{2} + xy + y^{2} = \frac{1}{4}$と原点との最短距離を求めよ．

演習問題

1.

次の式から定まる陰関数 $y = g(x)$ の極値を求めよう．

(a) $${8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$$ (b) $${x^{2}y + x + y = 0}$$ (c) $${x^3 + y^3 - 6xy = 0}$$

2.

次の条件 $g(x,y) = 0$ のもとでの $f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよう．

(a) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = xy^3}$$

(b) $${g(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy, f(x,y) = x^2 + y^2}$$

(c) $${g(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 1, f(x,y) = xy}$$

3.

点 ${\rm P}(x,y)$ が直線 $2x + 3y = 12$ 上を移動するとき， $xy$ の最大値を求めよう．

4.

点 ${\rm P}(x,y,z)$ が球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上を移動するとき， $x^2 + 2y^2 + 3z^2$ の最大値，最小値を求めよう．