条件付極値(extremum with side conditions)

$\phi(x,y) = 0$ という条件のもとで， $f(x,y)$ の極値を求める問題を考えてみましょう．

$\phi(x,y) = 0$ より $\phi_{y}(x,y) \neq 0$ ならば $\phi(x,y) = 0$ を満たす陰関数 $y = g(x)$ が定まります．いま $z = f(x,g(x))$ が $(x_{0},y_{0})$ で極値をとるとすると， $y_{0} = g(x_{0})$ かつ $z_{x} = 0$ より，

$\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})g^{\prime}(x_{0}) = 0$

また $\phi(x,y) = 0$ を $x$

で微分すると

$\displaystyle \phi_{x}(x_{0},y_{0}) + \phi_{y}(x_{0},y_{0})g^{\prime}(x_{0}) = 0$

よって

$\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0}) - f_{y}(x_{0},y_{0})\frac{\phi_{x}(x_{0},y_{0})}{\phi_{y}(x_{0},y_{0})} = 0$

ここで

$\displaystyle \frac{f_{y}(x_{0},y_{0})}{\phi_{y}(x_{0},y_{0})} = \lambda$

とおくと

$\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0}) - \lambda \phi_{x}(x_{0},y_{0}) = 0$

を満たす $\lambda$ が存在することが分かります．これより次の定理を得ます．

定理 6..11

[Lagrangeの乗数法] 条件 $\phi(x,y) = 0$ のもとで， $f(x,y)$

が極値をとる

の値は，

$\displaystyle F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda \phi(x,y)$

とおいて，

$\displaystyle F_{\lambda}(x,y) = -\phi(x,y) = 0, \ F_{x}(x,y) = 0, \ F_{y}(x,y) = 0$

の解として得られる．

この定理は幾何学的に考えると次のように考えることができます． $\phi(x,y) = 0$ よりベクトル $\nabla \phi(x,y)$ は曲線 $\phi(x,y) = 0$ と直交します．また $f(x,y)$ が条件 $\phi(x,y) = 0$ のもとで極値をとるということは， $z = f(x,y)$ の等高線 $f(x,y) = c$ と $\phi(x,y) = 0$ が共有点を持つときの $c$ の値の極値のことです．したがって，が $(x_{0},y_{0})$ で極値をとるならば，この点において， $\phi(x_{0},y_{0}) = 0$ とは接することになります．よって $\nabla \phi(x_{0},y_{0})$ と $\nabla f(x_{0},y_{0})$ は平行となり，

$\displaystyle \nabla f(x,y) = \lambda \nabla \phi(x,y)$

を満たす $\lambda$ が存在するのです．

すでに外積(ベクトル積)を学んだ人は， $\nabla \phi(x_{0},y_{0})$ と $\nabla f(x_{0},y_{0})$ は平行より次の式を得ることができます．

$\displaystyle \nabla \phi(x_{0},y_{0}) \times \nabla f(x_{0},y_{0}) = \hat{\bf ... ...ay}{cc} \phi_{x} & \phi_{y} \\ f_{x} & f_{y} \end{array}\right \vert = {\bf0}$

例題 6..26

$\displaystyle{x^2 + y^2 = 4}$ のとき， $\displaystyle{3x^2 + 4xy + 3y^2}$ の極値を求めてみましょう．

解 $\phi(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0, \ f(x,y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2$ より，

$\displaystyle F(x,y,\lambda) = 3x^2 + 4xy + 3y^2 - \lambda(x^2 + y^2 - 4 )$

とおくと

$\displaystyle F_{\lambda} = 0 \$ より $\displaystyle \ x^2 + y^2 - 4 = 0$			(6.2)
$\displaystyle F_{x} = 0 \$ より $\displaystyle \ (3-\lambda)x + 2y = 0$			(6.3)
$\displaystyle F_{y} = 0 \$ より $\displaystyle \ 2x + (3-\lambda)y = 0$			(6.4)

$(x,y) = (0,0)$ は式6.2を満たしません．そこで式6.3，6.4が $(x,y) \neq (0,0)$ という解を持つ条件は，

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{cc} 3- \lambda & 2\\ 2 & 3-\lambda \end{array}\right \vert = 0$

つまり， $\lambda^2 -6\lambda + 5 = 0$ ．すなわち $\lambda = 1, 5$ となります．

$\lambda = 1$ のとき，式6.2，6.3より $(x,y) = (\sqrt{2},-\sqrt{2}), (-\sqrt{2},\sqrt{2})$ ．これらに対して， $3x^2 + 4xy + 3y^2$ の値は $4$ となります．

$\lambda = 5$ のとき，式6.2，6.3より $(x,y) = (\sqrt{2},\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ．これらに対して， $3x^2 + 4xy + 3y^2$ の値は $20$ となります．

一方， $\{(x,y): x^2 + y^2 = 4\}$ は有界閉集合であり，この上で $3x^2 + 4xy + 3y^2$ は連続なので，最大・最小値の定理より最大値，最小値をもちます．これらは極値でもあるので，上で求めた結果より，極値であれば，それは4か20のはずです．よって，最大値は20，最小値は4となります． $\ \blacksquare$

例題 6..27

点

から曲面 $\displaystyle{x^2 - 2y + 2z -10 = 0}$ までの最短距離を求めてみましょう．

解点 $(1,-1,2)$ と与えられた平面上の点 $(x,y,z)$ との距離を $f(x,y,z)$ とし， $f^{2}$ の最小値を求めます．

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c} f^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 \\ x^{2}-2y+2z -10 = 0 \end{array}\right .$

より

$\displaystyle F(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - \lambda(x^{2}-2y+2z -10)$

とおくと

$\displaystyle F_{\lambda} = 0 \$ より $\displaystyle \ \ x^{2}-2y+2z -10 = 0$			(6.5)
$\displaystyle F_{x} = 0 \$ より $\displaystyle \ \ 2(x-1) - 2x \lambda = 0$			(6.6)
$\displaystyle F_{y} = 0 \$ より $\displaystyle \ \ 2(y+1) + 2\lambda = 0$			(6.7)
$\displaystyle F_{z} = 0 \$ より $\displaystyle \ \ 2(z-2) - 2\lambda = 0$			(6.8)