交項級数(alternating series)

正の項と負の項が交互にあらわれる級数を 交項級数(alternating series) といいます．

ここで，ドイツの数学者 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) によって示された交項級数が収束するための十分条件を学びます．

定理 4..7  

[Leibnizの定理] 次の $2$つの条件が満たされれば，交項級数

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} -\cdots$$

は収束する．

$${(1) a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \cdots \geq a_{n} \geq \cdots}$$

$${(2) \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0}$$

証明 この級数の第n部分和を $S_{n}$ とすると，

$$S_{2n+2} = S_{2n} + a_{2n+1}- a_{2n+2} \geq S_{2n}$$

$$S_{2n} = a_{1} - (a_{2} - a_{3})- \cdots - (a_{2n-2}- a_{2n-1}) - a_{2n} \leq a_{1}$$

よって $\{S_{2n}\}$ は上に有界な単調増加数列となるので収束します．ここで， $S_{2n} \rightarrow S$ とすると， $a_{n} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$ より

$$S_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+1} \rightarrow S (n \rightarrow \infty)$$

となるので， $\{S_{n}\}$ は $S$ に収束します．したがって $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n} < \infty$ $\blacksquare$

交項級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n}$ はLeibnizの定理の条件を満たしているので収束します．ところがこの級数の各項の絶対値をとって作った級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は調和級数となり発散します．このように $\sum a_{n}$ が収束し $\sum \vert a_{n}\vert$ が発散する級数を 条件収束(conditionally convergent) するといいます．また $\sum \vert a_{n}\vert$ も収束する級数 $\sum a_{n}$ を 絶対収束(absolute convergent) するといいます．

$\sum a_{n}$ が収束しても $\sum \vert a_{n}\vert$ は収束しない場合があることは分かりました．では，その逆はどうなのでしょうか．つまり， $\sum \vert a_{n}\vert$ が収束して $\sum a_{n}$ が収束しない場合はあるのでしょうか．ちょっと考えてみて下さい．

定理 4..8  

$${\sum \vert a_{n}\vert}$$ が収束すれば， $${\sum a_{n}}$$ も収束する．

証明 $\sum \vert a_{n}\vert$ の第n部分和を $T_{n}$， $\sum a_{n}$ の第n部分和を $S_{n}$ とおくと，

$$\vert S_{n}\vert = \vert a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \vert \leq \vert a_{1}\vert + \vert a_{2}\vert + \cdots + \vert a_{n}\vert = T_{n}$$

よって，

$$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} \leq \lim_{n \rightarrow \infty} T_{n} = \sum \vert a_{n}\vert < \infty$$

となり， $\sum \vert a_{n}\vert$ が収束すれば， $\sum a_{n}$ も収束します．

ここで，収束する級数と発散する級数の決定的な違いを調べてみましょう．まず，次のような交項級数を考えます．

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{3n-1}{3n-2} = \frac{2}{1} - \frac{5}{4} + \frac{8}{7} - \frac{11}{10} + \cdots$$

この級数は $${\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0}$$ となるので発散条件より発散します．この級数を隣り合った2つの項をかっこでくくって作った級数

$$= \left(\frac{2}{1} - \frac{5}{4}\right) + \left(\frac{8}{7} - \fra... ...\right) + \cdots + \left(\frac{3m-1}{3m-2} - \frac{3m+2}{3m +1}\right) + \cdots$$

$$= \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{3m-1}{3m-2} - \frac{3m+2}{3m +1}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(3m-2)(3m+1)}$$

を考えてみましょう． この級数は例題4.1より1に収束します．次に同じ級数をかっこをつける場所を変えてくくってみましょう．

$$= \frac{2}{1} - \left(\frac{5}{4} + \frac{8}{7}\right) - \left(\fra... ...\right) - \cdots - \left(\frac{3m-1}{3m-2} - \frac{3m+2}{3m +1}\right) + \cdots$$

$$= 2 - \sum_{m=2}^{\infty}\left(\frac{3m-1}{3m-2} - \frac{3m+2}{3m +1}\right) = 2 - \sum_{m=2}^{\infty} \frac{3}{(3m-2)(3m+1)}$$

$$= 2 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \cdots\right) = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$

このように，かっこをつける場所を変えると異なる値に収束するのは，発散する級数の特徴なのです．収束する級数は数列の順序を変えても同じ値に収束します．

確認問題

1.

次の級数は条件収束か絶対収束か判定しよう．

(a)

$${1 + (-1) + 1 + \cdots + (-1)^{n} + \cdots}$$

(b)

$${\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \cdots + (-1)^{n}\frac{n}{n+1} + \cdots }$$

(c)

$${\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}... ...rac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{3n+2} - \frac{1}{3n+3} - \frac{1}{3n+4} + \cdots}$$

演習問題

1.

次の級数は条件収束か絶対収束か判定しよう．

(a) $${\sum (-1)^{n}\frac{\log{n}}{n}}$$ (b) $${\sum (-1)^{n} \frac{n}{3^{n}}}$$ (c) $${\sum (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}})}$$

(d) $${\sum \frac{(-1)^{n-1}}{2n - 1}}$$ (e) $${\sum \frac{(-1)^{n}}{n\log{n}}}$$ (f) $${\sum \frac{\cos{n \pi}}{\sqrt{n^3 + n}}}$$