級数の定義(definition of series)

深さ $2$m の井戸にカエルが落ちました．カエルは必死に井戸からでようとしています．一回目のジャンプで1mとびあがり，二回目のジャンプで $${\frac{1}{2}}$$m, 三回目のジャンプで $${\frac{1}{4}}$$m と次々に前回の半分の距離をジャンプしていきました．ここで質問です．このカエルはやがて外にでれたでしょうか．考えてみましょう．まず， $${a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}, \ldots, }$$ とおくと， 質問は

$$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} + \cdots$$

はどうなるかと聞いているのと同じです．そこで，

$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ が数列のとき，この数列を用いて新たに数列

$$S_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{1}+a_{2}, S_{3} = a_{1}+a_{2}+a_{3},\ldots$$

を作ります．このとき第$n$項までの部分和 $S_{n}$ を 第$n$部分和(nth partial sum) といいます．

数列 $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ は形式的に

$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$

で表わされ，これを 級数(series) といいます．数列 $\{S_{n}\}$ が収束するとき，つまり

$$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = S$$

であるような実数 $S$ が存在するとき，級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ は $S$ に収束する(convergent) といい，

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = S$$

と表わし，級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ の和は $S$ であるといいます．また，数列 $\{S_{n}\}$ が収束しないとき，級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ は 発散する(divergent) といいます．

例題 4..1  

$${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots }$$ を求めてみましょう．

解

$$S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}$$

$$\frac{1}{2}S_{n} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{3}} + \cdots + \frac{1}{2^{n+1}}$$

より

$$S_{n} - \frac{1}{2}S_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{2^{n}- 1}{2^{n+1}}$$

よって

$$S_{n} = \frac{2^{n}- 1}{2^{n}}$$

これより

$$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{2^{n}- 1}{2^{n}}) = 1$$

つまり $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}}$$ は収束し，その和は $S = 1$ です． $\blacksquare$

これを一般化したものに次の定理があります．次の級数は簡単に収束，発散の判定ができるのでよく用いられます．

定理 4..1  

[無限等比級数] $a \neq 0$ のとき，

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} = a+ ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n} + \... ...}$& $\vert r\vert < 1$\\ {\rm 発散}& $\vert r\vert \geq 1$ \end{tabular}\right.$$

証明 $a \neq 0, r = 1$ のとき， $\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a$ より発散．よって $r \neq 1$ について考えます．

$$S_{n} = a + ar + \cdots + ar^{n}, rS_{n} = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n+1}$$

より

$$S_{n}(1-r) = a - ar^{n+1}$$

よって

$$S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \lim_{n \rightarrow \inft... ... \mbox{発散}& \vert r\vert \geq 1 \end{array}\right. \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 4..2  

$${\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n -2)(3n+1)}}$$ を求めてみましょう．

解 まず $${\frac{1}{(3n -2)(3n+1)}}$$ を部分分数で書き直してみると，

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}[\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}]$$

となります．これより第n部分和 $S_{n}$ を求めると

$$S_{n} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(3j-2)(3j+1)} = \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n} \left( \frac{1}{3j-2} - \frac{1}{3j+1}\right)$$

$$= \frac{1}{3}[1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{3n-2} + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} ]$$

$$= \frac{1}{3}[1 - \frac{1}{3n+1}]$$

これより，

$$S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3}[1 - \frac{1}{3n+1}] = \frac{1}{3} \ensuremath{ \blacksquare}$$

この級数の第$n$部分和は途中がすべて消えてしまうので，telescoping sum(望遠鏡級数)ともよばれています． ここで収束する級数すべてにおいて成り立つ定理を示します．

定理 4..2  

[発散条件]

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$   が収束するならば，$$\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$$

証明 $a_{n} = \sum_{n=1}^{n}a_{j} - \sum_{n=1}^{n-1}a_{j}$ よって

$$\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}(\sum_{j=1}^{n}a_{j} - \sum_{j=1}^{n-1}a_{j}) = S - S = 0 \ensuremath{ \blacksquare}$$

この定理の対偶をとると数列 $a_{n}$ が収束しなければ，級数 $\sum a_{n}$ は発散することになります．これより，級数の収束，発散を調べるときには，この定理をまず用いてみて下さい．

例題 4..3  

$${\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}}$$ の収束，発散について調べてみましょう．

解 まず， $${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n!}}$$ を計算してみましょう．

$$n! = 1\cdot 2 \cdot \cdots n \leq n^n$$

より

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n!} \geq \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n^n} = 1 \neq 0$$

よって $${\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}}$$ は発散します．

この定理の逆は必ずしも正しくありません．例えば級数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

を考えてみて下さい．この場合，数列 $${\{\frac{1}{n}\}}$$ は0に収束しますが，この級数は次に示すように調和級数なので発散します．

定理 4..3  

[一般調和級数]

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = \frac{1}{1^{p}} + \frac{1... ...\{\begin{array}{rl} \mbox{収束} & p > 1\\ {\rm 発散}& p \leq 1 \end{array}\right.$$

証明 まず，$p \leq 0$ のとき，

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{p}} \neq 0$$

となるので，発散条件よりこの級数は発散します．そこで，$p > 0$の場合を考えます．

$${f(x) = \frac{1}{x^{p}} = x^{-p}}$$ とおくと，

$$f^{\prime}(x) = -px^{-p-1} = \frac{-p}{x^{p+1}} < 0$$

よって， $f(x) > 0$ は $(0,\infty)$ で単調減少となるので，

$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq 1 + \int_{1}^{\infty}f(x)dx$$

が成り立つ．ここで $p > 1$ の場合を考えてみましょう．

$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p} dx = \left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{1}^{\infty-0} = \frac{1}{p-1} < \infty$$

したがって，

$$\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq 1 + \int_{1}^{\infty}f(x)dx = 1 + \frac{1}{p-1} < \infty$$

これより $S_{n} = \sum_{k=1}^{n}f(k)$ は上に有界な単調増加数列となるので収束． また $p < 1$ の場合

$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p} dx = \left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{1}^{\infty-0} = \infty$$

したがって，

$$\sum_{n=1}^{\infty} f(n) = \infty$$

最後に $p = 1$ の場合

$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x} dx = \left[\log{x}\right]_{1}^{\infty-0} = \infty$$

よって

$$\sum_{n=1}^{\infty} f(n) = \infty \ensuremath{ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の級数の和を求めよう．

(a) $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{10^{n}}}$$ (b) $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}}$$ (c) $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1 - 2^{n}}{3^{n}}}$$

2.

次の循環小数を有理数で表そう．

(a) $${1.\bar{3}}$$ (b) $${2.\bar{41}}$$ (c) $${0.\bar{9}}$$

演習問題

1.

次の級数の収束，発散を判定しよう．

(a) $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n+1}}$$ (b) $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1})}$$ (c) $${\sum_{n=1}^{\infty}\cos{\frac{\pi}{n}}}$$

2.

次の級数の和を求めよう．

(a) $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2 - 1}}$$ (b) $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}}$$ (c) $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$$