連続関数(continuous functions)

確認問題

1.
次の関数の極限値を求めよう.

(a) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2-}\frac{x-2}{\vert x-2\vert}}$ (b) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2+}\frac{x-2}{\vert x-2\vert}}$ (c) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-}\sqrt{\vert x\vert - x}}$ (d) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1+}\sqrt{\vert x\vert - x}}$

(e) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-}\frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}}$ (f) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}}$ (g) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2+}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x + 2}}{x-2}}$

2.
次の関数は指定された点で連続か調べよう.もし,連続でないならば,真性不連続点か除去可能な不連続点か調べよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
x^{2} + 4, & x < 2\\
x^{3}, & x \geq 2
\end{array}\right];  x = 2, }$ (b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
x^{2} + 4, & x < 2\\
5, & x = 2\\
x^{3}, & x > 2
\end{array}\right];  x = 2, }$

(c) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{x^{2} - 1}{x+1}, & x \neq -1\\
-2, & x = -1
\end{array}\right];  x = -1, }$

(d) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
-x^{2}, & x < 0\\
1 - \sqrt{x}, & x \geq 0
\end{array}\right];  x = 0, }$

3.
次の関数が$x = 1$で連続になるように,$f(1)$を定義しよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x-1}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
2x^{2} + 1, & x < 1\\
x^{3}, & x > 1
\end{array}\right]}$

3.
2分法を用いて $f(x) = 7x - 6 =0$の近似値を区間$[0,1]$において誤差$0.1$以内で求めよう.

演習問題

1.
次の関数の極限値を求めよう.

(a) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}}$ (b) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}}$ (c) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{\vert x\vert}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x}}}$ (d) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{x}{\sqrt{1-\cos{x}}}}$

(e) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\cos{\frac{1}{x}}}$ (f) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin{x}}{x}}$ (g) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}\cos{\frac{1}{x}}}$

2.
$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}, & x \neq 2\\
3, & x = 2
\end{array} \right.}$$x = 2$ で連続か調べよう.
3.
$f(x) = \sqrt{x}$ は区間 $[0,\infty)$ で連続であることを示そう.
4.
次の関数の最大値と最小値を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = x^2 - 3x + 1,  x \in [-2,1]}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x},  x \in (0,1]}$

(c) $\displaystyle{f(x) = x^2 - ax,  x \in [0,2]}$

5.
$\displaystyle{2\sin{x} - x = 0}$ $\displaystyle{(\frac{\pi}{2},\pi)}$ 内に実数解を持つことを証明しよう.