連続関数(continuous functions)

確認問題

1.

次の関数の極限値を求めよう．

(a) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2-}\frac{x-2}{\vert x-2\vert}}$ (b) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2+}\frac{x-2}{\vert x-2\vert}}$ (c) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-}\sqrt{\vert x\vert - x}}$ (d) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1+}\sqrt{\vert x\vert - x}}$

(e) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1-}\frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}}$ (f) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}}$ (g) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2+}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x + 2}}{x-2}}$

2.

次の関数は指定された点で連続か調べよう．もし，連続でないならば，真性不連続点か除去可能な不連続点か調べよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^{2} + 4, & x < 2\\ x^{3}, & x \geq 2 \end{array}\right]; x = 2, }$ (b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^{2} + 4, & x < 2\\ 5, & x = 2\\ x^{3}, & x > 2 \end{array}\right]; x = 2, }$

(c) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2} - 1}{x+1}, & x \neq -1\\ -2, & x = -1 \end{array}\right]; x = -1, }$

(d) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} -x^{2}, & x < 0\\ 1 - \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{array}\right]; x = 0, }$

3.

次の関数が

で連続になるように， $f(1)$

を定義しよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x-1}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x^{2} + 1, & x < 1\\ x^{3}, & x > 1 \end{array}\right]}$

3.

2分法を用いて

の近似値を区間

において誤差

以内で求めよう．

演習問題

1.

次の関数の極限値を求めよう．

(a) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}}$ (b) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}}$ (c) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}\frac{\vert x\vert}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x}}}$ (d) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0-}\frac{x}{\sqrt{1-\cos{x}}}}$

(e) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\cos{\frac{1}{x}}}$ (f) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin{x}}{x}}$ (g) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+}\cos{\frac{1}{x}}}$

2.