1.4 連続関数

(a) $\vert x-2\vert$ は $x$ が2より小さいとき $-(x-2)$ となる． $\displaystyle{\lim_{x \to 2-}\frac{x-2}{\vert x-2\vert} = \lim_{x \to 2-}\frac{x-2}{-(x-2)} = -1}$

(b) $\vert x-2\vert$ は $x$ が2より大きいとき $x-2$ となる． $\displaystyle{\lim_{x \to 2+}\frac{x-2}{\vert x-2\vert} = \lim_{x \to 2+}\frac{x-2}{x-2} = 1}$

(c) $\vert x\vert-x$ は $x$ が正のとき $x - x = 0$ となる． $\displaystyle{\lim_{x \to 1-}\sqrt{\vert x\vert - x} = \lim_{x \to 1-}0 = 0}$

(d) $\vert x\vert-x$ は $x$ が正のとき $x - x = 0$ となる． $\displaystyle{\lim_{x \to 1+}\sqrt{\vert x\vert - x} = \lim_{x \to 1+}0 = 0}$

(e) $\displaystyle{\lim_{x \to 1-}\frac{\sqrt{x} -1}{x - 1} = \lim_{x \to 1-}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1-}\frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}}$

(f) $\sqrt{x}$ は $x$ が負のとき定義されない． $\displaystyle{\lim_{x \to 0-}\frac{\sqrt{x} -1}{x - 1}}$ は存在しない．

(g) $\displaystyle{\lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{x^{2}-3x+2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{(x-2)(x-1)}}{x-2} = \lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}}$ 　より，存在しない．

2. $\lim_{x \to a-}f(x)$ が $\lim_{x \to a+}f(x)$ と等しく，さらに $f(a)$ と等しいとき，関数 $f(x)$ は $x = a$ で連続であるという．

(a) $\displaystyle{\lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2-}(x^{2} + 4) = 8}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to 2+}f(x) = \lim_{x \to 2+}x^{3} = 8}$ ，さらに $f(2) = 2^{3} = 8$ より， $x = 2$ で連続．

(b) $\displaystyle{\lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2-}(x^{2} + 4) = 8}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to 2+}f(x) = \lim_{x \to 2+}x^{3} = 8}$ ，しかし $f(2) = 5$ より， $x = 2$ は除去可能な不連続点．

(c) $\displaystyle{\lim_{x \to -1}f(x) = \lim_{x \to -1}\frac{x^{2}-1}{x+1} = \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = -2}$ ．また， $f(-1) = -2$ より， $x = 2$ で連続．

(d) $\displaystyle{\lim_{x \to 0-}f(x) = \lim_{x \to 0-}(-x^{2}) = 0}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to 0+}f(x) = \lim_{x \to 0+}(1 - \sqrt{x}) = 1}$ ，したがって， $x = 0$ は真性不連続点．

(a) $\displaystyle{\lim_{x \to 1}f(x)}$ が $f(1)$ と等しくなるように $f(1)$ を定めればよい．

$\displaystyle{\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2}$ . したがって， $f(1) = 2$ .

(b) $\displaystyle{\lim_{x \to 1}f(x)}$ が $f(1)$ と等しくなるように $f(1)$ を定めればよい．

$\displaystyle{\lim_{x \to 1-}f(x) = \lim_{x \to 1-}(2x^{2} + 1) = 3}$ . $\displaystyle{\lim_{x \to 1+}f(x) = \lim_{x \to 1+}3x^{3} = 3}$ したがって， $f(1) = 3$ .

4. $f(0) = -6, f(1) = 1$ より， $f(x) = 0$ の解は $(0,1)$ の間にある．そこで， $[0,1]$ の中点 $x = \frac{1}{2}$ を用いて $f(x)$ を求めると， $f(\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$ となる．中間値の定理より，解は $(\frac{1}{2},1)$ の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{3}{4}$ を用いて $f(x)$ を求めると， $f(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}$ となる．再び中間値の定理より，解は $(\frac{3}{4},1)$ の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{7}{8}$ を用いて $f(x)$ を求めると， $f(\frac{7}{8}) = \frac{1}{8}$ となる．再び中間値の定理より，解は $(\frac{7}{8},1)$ の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{13}{16}$ を用いて $f(x)$ を求めると， $f(\frac{13}{16}) = \frac{-5}{16}$ となる．中点を1回取るたびに，近似解と真の解との差は半分ずつになる．したがって，誤差を $0.1$ 以下にするには，中点を4回とればよい．したがって，近似解は $x = \frac{13}{16}$ である．