1.4 連続関数

1.

(a) $\vert x-2\vert$は$x$が2より小さいとき$-(x-2)$となる． $${\lim_{x \to 2-}\frac{x-2}{\vert x-2\vert} = \lim_{x \to 2-}\frac{x-2}{-(x-2)} = -1}$$

(b) $\vert x-2\vert$は$x$が2より大きいとき$x-2$となる． $${\lim_{x \to 2+}\frac{x-2}{\vert x-2\vert} = \lim_{x \to 2+}\frac{x-2}{x-2} = 1}$$

(c) $\vert x\vert-x$は$x$が正のとき$x - x = 0$となる． $${\lim_{x \to 1-}\sqrt{\vert x\vert - x} = \lim_{x \to 1-}0 = 0}$$

(d) $\vert x\vert-x$は$x$が正のとき$x - x = 0$となる． $${\lim_{x \to 1+}\sqrt{\vert x\vert - x} = \lim_{x \to 1+}0 = 0}$$

(e) $${\lim_{x \to 1-}\frac{\sqrt{x} -1}{x - 1} = \lim_{x \to 1-}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1-}\frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}}$$

(f) $\sqrt{x}$は$x$が負のとき定義されない． $${\lim_{x \to 0-}\frac{\sqrt{x} -1}{x - 1}}$$は存在しない．

(g) $${\lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{x^{2}-3x+2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{(x-2)(x-1)}}{x-2} = \lim_{x \to 2+}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}}$$　より，存在しない．

2. $\lim_{x \to a-}f(x)$が $\lim_{x \to a+}f(x)$と等しく，さらに$f(a)$と等しいとき，関数$f(x)$は$x = a$で連続であるという．

(a) $${\lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2-}(x^{2} + 4) = 8}$$, $${\lim_{x \to 2+}f(x) = \lim_{x \to 2+}x^{3} = 8}$$ ，さらに $f(2) = 2^{3} = 8$より，$x = 2$で連続．

(b) $${\lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2-}(x^{2} + 4) = 8}$$, $${\lim_{x \to 2+}f(x) = \lim_{x \to 2+}x^{3} = 8}$$ ，しかし$f(2) = 5$より，$x = 2$は除去可能な不連続点．

(c) $${\lim_{x \to -1}f(x) = \lim_{x \to -1}\frac{x^{2}-1}{x+1} = \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = -2}$$． また， $f(-1) = -2$より，$x = 2$で連続．

(d) $${\lim_{x \to 0-}f(x) = \lim_{x \to 0-}(-x^{2}) = 0}$$, $${\lim_{x \to 0+}f(x) = \lim_{x \to 0+}(1 - \sqrt{x}) = 1}$$ ，したがって，$x = 0$は真性不連続点．

3.

(a) $${\lim_{x \to 1}f(x)}$$が$f(1)$と等しくなるように$f(1)$を定めればよい．

$${\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2}$$. したがって，$f(1) = 2$.

(b) $${\lim_{x \to 1}f(x)}$$が$f(1)$と等しくなるように$f(1)$を定めればよい．

$${\lim_{x \to 1-}f(x) = \lim_{x \to 1-}(2x^{2} + 1) = 3}$$. $${\lim_{x \to 1+}f(x) = \lim_{x \to 1+}3x^{3} = 3}$$したがって，$f(1) = 3$.

4. $f(0) = -6, f(1) = 1$より，$f(x) = 0$の解は$(0,1)$の間にある．そこで，$[0,1]$の中点 $x = \frac{1}{2}$を用いて$f(x)$を求めると， $f(\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$となる．中間値の定理より，解は $(\frac{1}{2},1)$の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{3}{4}$を用いて$f(x)$を求めると， $f(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}$となる．再び中間値の定理より，解は $(\frac{3}{4},1)$の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{7}{8}$を用いて$f(x)$を求めると， $f(\frac{7}{8}) = \frac{1}{8}$となる．再び中間値の定理より，解は $(\frac{7}{8},1)$の間にある．そこで，この区間の中点 $x = \frac{13}{16}$を用いて$f(x)$を求めると， $f(\frac{13}{16}) = \frac{-5}{16}$となる．中点を1回取るたびに，近似解と真の解との差は半分ずつになる．したがって，誤差を$0.1$以下にするには，中点を4回とればよい．したがって，近似解は $x = \frac{13}{16}$である．