1.5 数列

1.

(a) どんな正の数$n \geq N$に対しても $\sqrt{n} < M$となる$M$が存在すると仮定すると，どんな正の数$n \geq N$に対しても$n < M^{2}$となり， $\lim_{n \to \infty}n \neq \infty$となる．これは矛盾である．したがって， $${\lim_{n \to \infty}\sqrt{n} = \infty}$$

(b) $${\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0}$$は数列の極限値の基本である． $${\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2}} = 0}$$

(c) 分子と分母から$n$の最大次数をくくりだす．

$${\lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}}{n+1} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}}{n(1 + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} = \infty}$$

(d) $${\lim_{n \to \infty}\frac{2^{n}-1}{2^{n}} = \lim_{n \to \infty}(1 - \frac{1}{2^{n}}) = 1}$$

(e) $${\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \lim_{n \to \infty}(\frac{n+1-n}{n(n+1)} = 0}$$

2.

(a) $${\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0}$$より，

$\{\frac{2}{n}\}$は有界． $${\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2}{n+1}\cdot \frac{n}{2} = \frac{n}{n+1} < 1}$$より，単調減少．

(b) $${\lim_{n \to \infty}\sqrt{4 - \frac{1}{n}} = 4}$$より， $\{\sqrt{4 - \frac{1}{n}}\}$は有界．

$${\frac{1}{n}}$$が単調減少より， $\{\sqrt{4 - \frac{1}{n}}\}$は単調増加．

3.

(a) $${a_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots ... ..._{1} = \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n-1}\cdots \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{n!}}$$

(b) $b_{k} = a_{k} - a_{k-1}$とおくと，$b_{k} = 2$となり，

$${a_{n} = (a_{n} - a_{n-1})+(a_{n-1} - a_{n-2}) + \cdots (a_{2} - a_{1}) + a_{1} = 2(n-1) + 1 = 2n - 1}$$

(c) $b_{k} = a_{k} - a_{k-1}$とおくと， $b_{k} = 2k-1$となり，

$$a_{n} = (a_{n} - a_{n-1})+(a_{n-1} - a_{n-2}) + \cdots (a_{2} - a_{1}) + a_{1}$$

$$= 2((n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1) + n-1 + 1 = n^{2}$$