1.6 超越関数

1.

(a) $${\lim_{n \to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert = \frac{1}{e} < 1}$$．したがって，定理1.15の系より， $\lim_{n \to \infty}a_{n} = 0$.

(b) $${\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}2^{n+1} = \infty}$$より，$\{a_{n}\}$は発散．

(c) $${\lim_{n \to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} = 1}$$より，何も結論付けられない．そこで， $(n+1)a_{n+1} = na_{n}$と書き直し， $b_{n} = na_{n}$とおくと， $b_{n+1} = b_{n}, b_{1} = a_{1} = 1$となり，$b_{n} = 1$となる．これより， $a_{n} = \frac{1}{n}$．したがって， $\lim_{n \to \infty}a_{n} = 0$.

2.

(a) $\log{20} = \log{4 \cdot 5} = \log{4} + \log{5} = 1.39 + 1.61 = 3.00$

(b) $\log{16} = \log{2^{4}} = 4\log{2} = 4(0.69) = 2.76$

(c) $\log{3^{4}} = 4\log{3} = 4(1.10) = 4.40$

(d) $\log{0.01} = \log{10^{-2}} = -2\log{10} = -2(2.30) = -4.60$

(e) $\log{\sqrt{630}} = \frac{1}{2}\log{630} = \frac{1}{2}\log{3^{2}\cdot 7 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{1}{2}(2(1.1) + 1.95 + 0.69 + 1.61) = 3.225$

(f) $\log{0.4} = \log{\frac{2}{5}} = \log{2} - \log{5} = 0.69 - 1.61 = -0.92$

3.

(a) $\log{x} = 2$より$x = e^{2}$

(b) $\log{x} = -1$より $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(c) $(2 - \log{x})\log{x} = 0$より $2 - \log{x} = 0$または $\log{x} = 0$. したがって，$x = e^{2}$または$x = 1$.

(d) $\log{(2x+1)(x+2)} = 2\log(x+2)$より

$$\log(2x+1) + \log(x+2) - 2\log(x+2) = 0$$

$$\log(2x+1) - \log(x+2) = 0$$

したがって，

$$\frac{2x+1}{x+2} = 1$$

両辺に$(x+2)^{2}$をかけると

$$(2x+1)(x+2) = (x+2)^{2}$$

$$(x+2)(2x+1 - x - 2) = (x+2)(x-1) = 0$$

これより，$x = -2, 1$. 真数条件より，$x = -2$は不適．したがって，$x = 1$