1.4 解答

1.4

1.

(a) $${\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = - \infty}$$ また， $${\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty}$$． よって極限値は存在しない．

(b) $${\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty}$$

(c)

$$\lim_{x \to 0+} \frac{\vert x\vert}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a - x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{x(\sqrt{a +x} + \sqrt{a-x})}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a - x})(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}$$

$$= \lim_{x \to 0+}\frac{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{a+x - (a-x)} = \sqrt{a}$$

(d)

$$\lim_{x \to 0-}\frac{x}{\sqrt{1 - \cos{x}}} = \lim_{x \to 0-} \frac{x\sqrt{1 + \cos{x}}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{x}}} = \lim_{x \to 0-}\frac{x \sqrt{1 + \cos{x}}}{\sqrt{\sin^{2}{x}}}$$

$$= \lim_{x \to 0-}\frac{x \sqrt{1 + \cos{x}}}{\vert\sin{x}\vert} = \lim_{x \to 0-}\frac{x \sqrt{1 + \cos{x}}}{-\sin{x}} = - \sqrt{2}$$

(e) $${\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0}$$ より $${\lim_{x \to \infty} \cos{\frac{1}{x}} = 1}$$

(f) $${\lim_{x \to \infty} \sin{x}}$$ は振動より $${\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 0}$$

(g) $${\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty}$$ より $${\lim_{x \to 0+} \cos(\frac{1}{x})}$$ は存在しない

2

1.

$$lim_{x \to 2}\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{x-2} = 3$$

また，$f(2) = 3$より，$f(x)$は$x = 2$で連続

3.

$a \in (0, \infty)$のとき $\lim_{x \rightarrow a}\sqrt{x} = \sqrt{a}$を示す．任意の正の数 $\varepsilon$に対して， $${\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{a}}}$$ととると，

$$\vert\sqrt{x} - \sqrt{a}\vert = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}\vert x - a\vert \leq \frac{\vert x - a\vert}{\sqrt{a}} \leq \varepsilon$$

4.

(a) $${f(x) = x^2 - 3x + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}}$$ より 最大値は $x = -2$ のとき $\max = 11$ で 最小値は $x = 1$ のとき, $\min = -1$

(b) $x \to 0+$ のとき $f(x) = \frac{1}{x}$ は無限大に近づくので，最大値はなし．また 最小値は $\min = 1$

(c) $${\max = \left\{\begin{array}{cl} 4-2a & a \leq 0\\ 4-2a & 0 < a... ... -\frac{a^2}{4} & 0 < a < 4\\ -\frac{a^2}{4} & a \geq 4 \end{array} \right.}$$

5.

$${f(x) = 2\sin{x} - x}$$とおくと，$f(x)$は $${[\frac{\pi}{2},\pi]}$$ で連続で $${f(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{2} > 0}$$ また $f(\pi) = - \pi < 0$ となるので，中間値の定理より $f(\xi) = 0$となる$\xi$が $${[(\frac{\pi}{2},\pi)}$$内に存在する．