関数の極限(limit of function)

確認問題

1.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}(2x -1)}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x}{x + 1}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^{2}(x + 1)}{2x}}$$ (d) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x(x+1)}{2x}}$$

(e) $${\lim_{x \rightarrow 9}\frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}}$$ (f) $${\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^{2} - x- 6}{x-3}}$$ (g) $${\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x^{2} - 3x - 4)^{2}}{x-4}}$$

(h) $${\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t}\left(\frac{1}{t+3} - \frac{1}{3}\right)}$$ (i) $${\lim_{x \rightarrow 0}x\left(1 - \frac{x + 1}{x}\right)}$$

2.

$${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1}$$ を用いて次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{3x}}}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos^{2}{x} - 1}{x^{2}}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{x} - 1}{x}}$$ (d) $${\lim_{x \rightarrow \pi}\frac{\sin{x}}{x - \pi}}$$

演習問題

1.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 2}(x^2 + 4x)}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 -4}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x^4 - 6x^3 + x^2 + 2}{x - 1}}$$

(d) $${\lim_{x \rightarrow 1}\frac{2x^4 - 6x^3 + x^2 + 3}{x - 1}}$$ (e) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1 - x}}{x}}$$

(f) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/3} - (1 - x)^{1/3}}{x}}$$ (g) $${\lim_{x \rightarrow 2} f(x)}$$, ただし $${f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2, & x \neq 2\\ 3, & x = 2 \end{array} \right.}$$

2.

$${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1}$$ を用いて次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{3x}}{x}}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x}{\sin{x}}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}{x}}{x}}$$ (d) $${\lim_{x \rightarrow 0}x \sin\frac{1}{x}}$$

3.

$\lim_{x \rightarrow a}\vert f(x)\vert = 0$ ならば， $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = 0$ を示そう．