2重積分の応用(application of double integrals)

確認問題

1.

次の図形の面積を求めよう．

(a) 曲線 $${r = 1 - \cos{\theta}}$$で囲む部分

(b) $${r = 3\cos{\theta}}$$の内側で $r = \frac{3}{2}$の外側の部分

(c) $${r = 3\cos{\theta}}$$の内側で $r = \cos{\theta}$の外側の部分

2.

次の曲面の曲面積を求めよう．

(a) $z^{2} = x^{2} + y^{2}$の $0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 1$, $z \geq 0$の部分

(b) 平面$x+y+z = 2$ の $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$の部分

(c) 双曲方物面$z = xy$の円柱面 $x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$の内部にある部分

3.

次の立体の体積を求めよう．

(a) 放物面 $z = x^{2} + y^{2}$と平面$z = 2y$によって囲まれた部分

(b) 放物面 $z = x^{2} + y^{2}$と円柱 $x^{2} + y^{2} \leq 1$によって囲まれる部分

演習問題

1.

次の図形の面積を求めよう．

(a) 曲線 $${x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t} (0 \leq t \leq \frac{\pi}{2})}$$ と両軸とで囲む部分

(b) $${r = a\cos{3\theta} (a > 0)}$$ の囲む部分

(c) 曲線 $${y = \frac{8}{x^2 + 4}}$$ と $${y = \frac{x^2}{4}}$$ で囲む部分

2.

次の曲面の曲面積を求めよう．

(a) 半径 $a$ の球面 $${x^2 + y^2 + z^2 = a^2}$$

(b) $z = xy$ の $${x^2 + y^2 \leq a^2}$$ に対応する部分

(c) 円柱 $${x^2 + z^2 = a^2}$$ が円柱 $${x^2 + y^2 = a^2}$$ によって切り取られる部分

(d) $y = mx (0 \leq x \leq k)$ を $x$ 軸の回りに回転してできる曲面 $(m > 0)$

3.

次の立体の体積を求めよう．

(a) 円柱 $${x^2 + y^2 \leq a^2}$$ の $0 \leq z \leq x$ の部分

(b) $${0 \leq z \leq 1 - x^2, x \leq 1 - y^2, x \geq 0, y \geq 0}$$ で定まる閉領域

(c) 球 $${x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2}$$ と円柱 $${x^2 + y^2 \leq ax}$$ の共通部分

(d) 円錐面 $${z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}}$$ と平面 $z = x$および $x = 0$ で囲まれる部分