変数変換(change of variables)

確認問題

1.

次の $2$重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}(x^2+y^{2})dxdy, \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}\frac{1}{(x^2+y^2)}dxdy, \Omega = \{(x,y) : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4, y \geq 0\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}y^{2}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x^{2} + y^{2} \leq 1 \}}$$

(d) $${\iint_{\Omega}(x+y)dxdy, \Omega = \{(x,y): 0 \leq x+y \leq 1, \vert x-y\vert \leq 1}$$

(e) $${\iint_{\Omega}\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x^{2} + y^{2} \leq 2x \}}$$

2.

$u = x - y, v = x + y$とおくと，領域 $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x + y \leq 1, 0 \leq x - y \leq 1\}$はどんな図形に移されるか図示せよ．また，この変数変換を用いて，2重積分 $\iint_{\Omega}(2x + 3y)dxdy$の値を求めよう．

3.

$\Omega = \{(x,y): 0 \leq x - y \leq 1, 0 \leq x + 2y \leq 1\}$とするとき，2重積分 $\iint_{\Omega}2xdxdy$の値を求めよう

演習問題

1.

次の $2$重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x^{2}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(b) $${\iint_{\Omega}\log{(x^2+y^2)}dxdy, \Omega = \{(x,y) : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}}$$

(c) $${\iint_{\Omega}e^{(y-x)/(y+x)}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0 \}}$$

(d) $${\iint_{\Omega}e^{x^2 + y^2}dxdy, \Omega = \{(x,y) : 1 < x^2 + y^2 < 4 \}}$$

(e) $${\iint_{\Omega}\sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy, \Omega = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

(f) $${\iint_{\Omega}(1 - x - 2y)dxdy, \Omega = \{(x,y) : x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

2.

$u = x + y, v = x - y$に変換して，次の積分を求めよう．

$${\iint_{\Omega}(x^2 + y^2) e^{-x+y} dx dy, \Omega = \{-1 \leq x+y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1 \}}$$