累次積分(repeated integrals)

確認問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$$

(b) $${\iint_{\Omega}(2x + 3y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

(c) $${\iint_{\Omega}(1 + x + xy) dxdy, \Omega: 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y}$$

(d) $${\iint_{\Omega}\sin(x+y) dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}}$$

(e) $${\iint_{\Omega}x^{3} y dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dydx}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^{2}}f(x,y)dxdy}$$ (c) $${\int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{3-x}f(x,y)dydx}$$

3.

次の体積を求めよう．

(a) 曲面$z = x+y$で上に有界で3点 $(0,0), (0,1), (1,0)$を頂点とする三角面で下に有界な立体

(b) 曲面$z = 2x+3y$で上に有界で点 $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$を頂点とする正方形で下に有界な立体

(c) 曲面 $z = x^{2} + y^{2}$で上に有界で単位円盤 $x^{2} + y^{2} \leq 1$で下に有界な立体

演習問題

1.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\iint_{\Omega}x^2 dxdy, \Omega: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3}$$

(b) $${\iint_{\Omega}e^{x+y} dxdy, \Omega: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x}$$

(c) $${\iint_{\Omega}\sqrt{xy} dxdy, \Omega: 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y}$$

(d) $${\iint_{\Omega}(4 - y^2) dxdy, \Omega}$$ は $y^2 = 2x$ と $y^2 = 8 - 2x$ で囲まれた領域

2.

次の積分順序の交換をしよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{x^4}^{x^2}f(x,y)dydx}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{-y}^{y}f(x,y)dxdy}$$ (c) $${\int_{1}^{4}\int_{x}^{2x}f(x,y)dydx}$$

3.

次の2重積分を計算しよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{y/x}dxdy}$$ (b) $${\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^2}dydx}$$ (c) $${\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}}\frac{\sin{x}}{x}dx}$$