7.2 累次積分

(a)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-1a.eps} \end{figure}$

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3\}$

よりV-simpleを用いると

$\displaystyle \iint_{\Omega}x\; dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}\int_{y=0}^{3}x\; dx dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left[xy\right]_{0}^{3}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-1}^{1}3x\; dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = 0$

ここで， $\int_{-1}^{1}3x\; dx$ をわざわざ計算したが， $3x$

が奇関数であることに気付けば，計算しなくても0であることが分かる．

(b)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-1b.eps} \end{figure}$

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$

よりV-simpleを用いると

$\displaystyle \iint_{\Omega}x\; dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{x}(2x+3y)\; dy dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[2xy + \frac{3y^2}{2}\right]_{0}^{x}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}(2x^2 + \frac{3x^2}{2})\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{7x^2}{2}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[\frac{7}{6}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{7}{6}$

(c)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-1c.eps} \end{figure}$

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y\}$

よりH-simpleを用いると

$\displaystyle \iint_{\Omega}(1+x+xy)\; dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x=y^2}^{y}(1 + x+xy)\; dx dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2 y}{2}\right]_{y^2}^{y}\; dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}[(y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{2}) - (y^2 + \frac{y^4}{2} + \frac{y^5}{2})]\; dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}(y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^4}{2} - \frac{y^5}{2})\; dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6} + \frac{y^4}{8} - \frac{y^5}{10} - \frac{y^6}{12}\right]_{0}^{1}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{11}{40}$

(d)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-1d.eps} \end{figure}$

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\}$

よりV-simpleを用いると

$\displaystyle \iint_{\Omega}\sin(x+y)\; dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{y=0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x+y)\; dy dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\cos(x+y)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos(x+\frac{\pi}{2}) - \cos{x})\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x + \cos{x})\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[-\cos x + \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 2$

(e)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-1b.eps} \end{figure}$

$\displaystyle \Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$

よりV-simpleを用いると

$\displaystyle \iint_{\Omega}x^3\; dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{x}x^{3}y\; dy dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x^{3} y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}(\frac{x^5}{2})\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[\frac{x^6}{12} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}$

(a)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-2a.eps} \end{figure}$

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx}$ は縦線集合として，累次積分が作られているので，これを横線集合として行なえばよい．

まず，横線は $y = 0$ から $y=1$ まで引けるので， $0 \leq y \leq 1$ が決まる．そして，小さなブロックを左端から右端まで積むので，左端の曲線の式を求めると， $y = x$ より， $x = y$ となる．また，右端の曲線の式は $y = x^2$ より， $x = \pm \sqrt{y}$ となるが， $x$ は正であるから， $x = \sqrt{y}$ となる．これより，

$\displaystyle \Omega$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq \sqrt{y}\}$

となる．したがって，

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\; dy dx$

(b)

$\begin{figure}\includegraphics[width=4cm]{CALCFIG/ren7-2-2b.eps} \end{figure}$

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}f(x,y)\;dxdy}$ は横線集合として，累次積分が作られているので，これを縦線集合として行なえばよい．

まず，縦線は $x = 0$ から $x = 1$ まで引けるので， $0 \leq x \leq 1$ が決まる．そして，小さなブロックを下端から上端まで積むので，下端の曲線の式を求めると， $x = y^2$ より， $y = \sqrt{x}$ となる．また，上端の曲線の式は $y=1$ ．これより，

$\displaystyle \Omega$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y^2\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1\}$

となる．したがって，

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}f(x,y)\;dydx = \int_{x=0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}f(x,y)\; dy dx$

(c)

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren7-2-2c.eps} \end{figure}$

$\displaystyle{\int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{3-x}f(x,y)\;dydx}$ は縦線集合として，累次積分が作られているので，これを横線集合として行なえばよい．

まず，横線は $y = 0$ から $y=1$ までと $y=1$ から $y = 3$ までとで，右端の曲線が異なる．そこで，まず， $y = 0$ から $y=1$ までの領域を表すと，左端の曲線は $x = 0$ で右端の曲線の式は $y = \frac{x}{2}$ より， $x = 2y$ となる．これより，

$\displaystyle \Omega_{1} = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 2y\}$

次に，

から

までの領域を表す．左端の曲線は $x = 0$

で右端の曲線の式は $y = \frac{x}{2}$ より， $x = 2y$

となる．これより，

$\displaystyle \Omega_{1} = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 2y\}$

引けるので， $0 \leq y \leq 1$ が決まる．そして，小さなブロックを左端から右端まで積むので，左端の曲線の式を求めると， $y = x$

より，

となる．また，右端の曲線の式は $y = x^2$

より， $x = \pm \sqrt{y}$ となるが， $x$

は正であるから， $x = \sqrt{y}$ となる．これより，

$\displaystyle \Omega$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq \sqrt{y}\}$

となる．したがって，

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\; dy dx$

(a)

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren7-2-3a.eps} \end{figure}$

領域 $\Omega$ を縦線集合で表すと， $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x\}$ となる．これより，求める体積は，

$\displaystyle V$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x+y)\; dy dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x(1-x) + \frac{(1-x)^{2}}{2}\right)\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x -x^2 + \frac{x^2 - 2x + 1}{2}\right)\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\right)\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{1}{3}$

(b) 領域 $\Omega$ を縦線集合で表すと， $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$ となる．これより，求める体積は，

$\displaystyle V$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{1}(2x+3y)\; dy dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left[2xy + \frac{3y^2}{2}\right]_{0}^{1}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\left(2x + \frac{3}{2}\right)\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[x^2 + \frac{3x}{2}\right]_{0}^{1} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

(c)

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren7-2-3c.eps} \end{figure}$

領域 $\Omega$ は円なので，極座標で表すと， $\Omega = \{(r,\theta): 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq 1\}$ となる．これより，求める体積は，

$\displaystyle V$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}r^2 \cdot r \; dr d\theta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}\; dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$