7.2 累次積分

1.

(a)

$$\Omega = \{(x,y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3\}$$

よりV-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}x\; dxdy = \int_{-1}^{1}\int_{y=0}^{3}x\; dx dy$$

$$= \int_{-1}^{1}\left[xy\right]_{0}^{3}\; dx$$

$$= \int_{-1}^{1}3x\; dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = 0$$

ここで， $\int_{-1}^{1}3x\; dx$をわざわざ計算したが，$3x$が奇関数であることに気付けば，計算しなくても0であることが分かる．

(b)

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$$

よりV-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}x\; dxdy = \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{x}(2x+3y)\; dy dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left[2xy + \frac{3y^2}{2}\right]_{0}^{x}\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}(2x^2 + \frac{3x^2}{2})\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}\frac{7x^2}{2}\; dx$$

$$= \left[\frac{7}{6}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{7}{6}$$

(c)

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y\}$$

よりH-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}(1+x+xy)\; dxdy = \int_{0}^{1}\int_{x=y^2}^{y}(1 + x+xy)\; dx dy$$

$$= \int_{0}^{1}\left[x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2 y}{2}\right]_{y^2}^{y}\; dy$$

$$= \int_{0}^{1}[(y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{2}) - (y^2 + \frac{y^4}{2} + \frac{y^5}{2})]\; dy$$

$$= \int_{0}^{1}(y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^4}{2} - \frac{y^5}{2})\; dy$$

$$= \left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6} + \frac{y^4}{8} - \frac{y^5}{10} - \frac{y^6}{12}\right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{11}{40}$$

(d)

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\}$$

よりV-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}\sin(x+y)\; dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{y=0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x+y)\; dy dx$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[-\cos(x+y)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\; dx$$

$$= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos(x+\frac{\pi}{2}) - \cos{x})\; dx$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x + \cos{x})\; dx$$

$$= \left[-\cos x + \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \sin \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 2$$

(e)

$$\Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$$

よりV-simpleを用いると

$$\iint_{\Omega}x^3\; dxdy = \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{x}x^{3}y\; dy dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left[\frac{x^{3} y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}(\frac{x^5}{2})\; dx$$

$$= \left[\frac{x^6}{12} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}$$

2.

(a)

$${\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx}$$は縦線集合として，累次積分が作られているので，これを横線集合として行なえばよい．

まず，横線は$y = 0$から$y=1$まで引けるので， $0 \leq y \leq 1$が決まる．そして，小さなブロックを左端から右端まで積むので，左端の曲線の式を求めると，$y = x$より，$x = y$となる．また，右端の曲線の式は$y = x^2$より， $x = \pm \sqrt{y}$となるが，$x$は正であるから， $x = \sqrt{y}$となる．これより，

$$\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$$

$$= \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq \sqrt{y}\}$$

となる．したがって，

$$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\; dy dx$$

(b)

$${\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}f(x,y)\;dxdy}$$は横線集合として，累次積分が作られているので，これを縦線集合として行なえばよい．

まず，縦線は$x = 0$から$x = 1$まで引けるので， $0 \leq x \leq 1$が決まる．そして，小さなブロックを下端から上端まで積むので，下端の曲線の式を求めると，$x = y^2$より， $y = \sqrt{x}$となる．また，上端の曲線の式は$y=1$．これより，

$$\Omega = \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y^2\}$$

$$= \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1\}$$

となる．したがって，

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}f(x,y)\;dydx = \int_{x=0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}f(x,y)\; dy dx$$

(c)

$${\int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{3-x}f(x,y)\;dydx}$$は縦線集合として，累次積分が作られているので，これを横線集合として行なえばよい．

まず，横線は$y = 0$から$y=1$までと$y=1$から$y = 3$までとで，右端の曲線が異なる．そこで，まず，$y = 0$から$y=1$までの領域を表すと，左端の曲線は$x = 0$で右端の曲線の式は $y = \frac{x}{2}$より，$x = 2y$となる．これより，

$$\Omega_{1} = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 2y\}$$

次に，$y=1$から$y = 3$までの領域を表す．左端の曲線は$x = 0$で右端の曲線の式は $y = \frac{x}{2}$より，$x = 2y$となる．これより，

$$\Omega_{1} = \{(x,y) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 2y\}$$

引けるので， $0 \leq y \leq 1$が決まる．そして，小さなブロックを左端から右端まで積むので，左端の曲線の式を求めると，$y = x$より，$x = y$となる．また，右端の曲線の式は$y = x^2$より， $x = \pm \sqrt{y}$となるが，$x$は正であるから， $x = \sqrt{y}$となる．これより，

$$\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$$

$$= \{(x,y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq \sqrt{y}\}$$

となる．したがって，

$$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\;dydx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\; dy dx$$

3.

(a)

領域$\Omega$を縦線集合で表すと， $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x\}$となる．これより，求める体積は，

$$V = \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x+y)\; dy dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x}\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left(x(1-x) + \frac{(1-x)^{2}}{2}\right)\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left(x -x^2 + \frac{x^2 - 2x + 1}{2}\right)\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\right)\; dx$$

$$= \frac{1}{2}\left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{1}{3}$$

(b) 領域$\Omega$を縦線集合で表すと， $\Omega = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$となる．これより，求める体積は，

$$V = \int_{0}^{1}\int_{y=0}^{1}(2x+3y)\; dy dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left[2xy + \frac{3y^2}{2}\right]_{0}^{1}\; dx$$

$$= \int_{0}^{1}\left(2x + \frac{3}{2}\right)\; dx$$

$$= \left[x^2 + \frac{3x}{2}\right]_{0}^{1} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$$

(c)

領域$\Omega$は円なので，極座標で表すと， $\Omega = \{(r,\theta): 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq 1\}$となる．これより，求める体積は，

$$V = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}r^2 \cdot r \; dr d\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}\; dx$$

$$= \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$$