陰関数(implicit functions)

確認問題

1.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めよう．

(a) $${x - y^{2} = 1}$$ (b) $${x^{2} + xy + 2y^{2} = 1}$$ (c) $${x - e^{y} = 0}$$

(d) $${x^{3} - 3xy + y^{3} = 1}$$

2.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$$ を求めよう．

(a) $${x^2 +y^2 + z^2 = 4, x + y + z = 1}$$ (b) $${xyz = 1, x + y + z = 1}$$

演習問題

1.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めよう．

(a) $${2x^2+ 5xy - 3y^2 = 1}$$ (b) $${y = e^{x+y}}$$ (c) $${x^2 - y^2 = xy}$$

(d) $${\log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}}$$

2.

次の式から定まる陰関数について， $${\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$$ を求めよう．

(a) $${x^2 +y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 4x}$$ (b) $${xyz = 1, xy + yz + zx = 1}$$

3.

楕円 $2x^2 + 5y^2 = 12$ 上の点 $(1,\sqrt{2})$における接線と法線を求めよう．

4.

曲面 $${z = \tan^{-1}\frac{y}{x}}$$ 上の点 $(1,1,\frac{\pi}{2})$における接平面と法線を求めよう．

5.

次の式から定まる陰関数 $y = g(x)$ の極値を求めよう．

(a) $${8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$$ (b) $${x^{2}y + x + y = 0}$$

(c) $${x^3 + y^3 - 6xy = 0}$$