2変数関数の極値(extreme values)

確認問題

1.

次の関数の $(a,b)$ でのTaylor展開を $xとy$ の2次の項まで求めよう．

(a) $${f(x,y) = x^{2}y, (a,b) = (1,1)}$$ (b) $${f(x,y) = \cos{xy}, (a,b) = (1, \frac{\pi}{2}) }$$

(c) $${f(x,y) = \log{(1 - x + y)}, (a,b) = (1,1)}$$ (d) $${f(x,y) = xe^{2x+y}, (a,b) = (0,0)}$$

2.

次の関数の極値を求めよう.

(a) $${f(x,y) = 2x - x^{2} - y^{2}}$$ (b) $${f(x,y) = x^{2} - 6y^{2} + y^{3}}$$

(c) $${f(x,y) = x^{3} - 3x + y}$$ (d) $${f(x,y) = x^{2} + xy + y^{2} - 3x - 3y}$$

演習問題

1.

次の関数の極値を求めよう．

(a) $${f(x,y) = 2x^2 + y^2 -xy - 7y}$$ (b) $${f(x,y) = \frac{x}{y^2} + xy }$$

(c) $${f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy}$$ (d) $${f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 - y^2)}$$

2.

次の関数の $(a,b)$ でのTaylor展開を $xとy$ の2次の項まで求めよう．

(a) $${f(x,y) = e^x \cos{y}, (a,b) = (0,0)}$$

(b) $${f(x,y) = \log{(x + y^2)}, (a,b) = (2,1)}$$