陰関数の極値と条件付極値(extremum with side conditions)

確認問題

1.

次の条件 $g(x,y) = 0$ のもとでの $f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよう．

(a) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = x^{2} + 3y^2}$$

(b) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 4, f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x}$$

(c) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = xy + x + y}$$

2.

楕円 $x^{2} + xy + y^{2} = \frac{1}{4}$と原点との最短距離を求めよ．

演習問題

1.

次の式から定まる陰関数 $y = g(x)$ の極値を求めよう．

(a) $${8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$$ (b) $${x^{2}y + x + y = 0}$$ (c) $${x^3 + y^3 - 6xy = 0}$$

2.

次の条件 $g(x,y) = 0$ のもとでの $f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよう．

(a) $${g(x,y) = x^2 + y^2 - 1, f(x,y) = xy^3}$$

(b) $${g(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy, f(x,y) = x^2 + y^2}$$

(c) $${g(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 1, f(x,y) = xy}$$

3.

点 ${\rm P}(x,y)$ が直線 $2x + 3y = 12$ 上を移動するとき， $xy$ の最大値を求めよう．

4.

点 ${\rm P}(x,y,z)$ が球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上を移動するとき， $x^2 + 2y^2 + 3z^2$ の最大値，最小値を求めよう．