全微分(total differential)

確認問題

1.

次の関数のgradientと全微分を求めよう．

(a) $${f(x,y) = x^3 + y^{2}}$$ (b) $${f(x,y) = 3x^{2} - xy + y}$$ (c) $${z = x^2 y^{-2}}$$ (d) $${z = x^2 y}$$ (e) $${z = e^{x}\cos{y}}$$

2.

次の条件を満たす接平面および法線の方程式を求めよう．

(a) 点$(1,1,1)$を通り，法線ベクトルが$(3,2,-1)$

(b) 点$(2,1,1)$における曲面$z = xy$

(c) 点$(1,1,4)$における曲面 $z = x^{2} + xy + 2y^{2}$

演習問題

1.

次の関数の全微分およびgradientを求めよう．また，点 $(1,1)$ に対応する点を通る接平面と法線を求めよう．

(a) $${f(x,y) = x^3 y^4}$$ (b) $${f(x,y) = x^3 y + x^2 y^4}$$ (c) $${z = x^2 y e^{2x}}$$ (d) $${z = \cos{xy}}$$

2.

全微分を用いて，次の値を近似してみよう．

(a) $${\sqrt{125}\sqrt[4]{17}}$$ (b) $${\sin{(\frac{6\pi}{7})}\cos{(\frac{\pi}{3})}}$$