6.4 解答

6.4

1. 次のことを確認します． $z = f(x,y)$ の全微分 $df(x,y)$ は

$\displaystyle df(x,y) = f_{x}(x,y)dx + f_{y}(x,y)dy$

で与えられる．

の勾配 $\nabla f$ は

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$

で与えられる．点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$ を通る $z = f(x,y)$

の接平面の方程式は

$\displaystyle z = f(x_{0},y_{0}) + \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot (x - x_{0}, y- y_{0})$

で与えられる．点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$ を通る $z = f(x,y)$

の法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) = t(f_{x}(x_{0},y_{0},-1)$

で与えられる．

(a) $f_{x}(x,y) = 3x^2 y^4, f_{y}(x,y) = 4x^3 y^3$ より

$\displaystyle df(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2 y^4, 4x^3 y^3)$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1 + 3(x-1) + 4(y-1) = 3x + 4y -6$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,1) = t(3,4,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z -1}{-1}$

(b)

$f_{x}(x,y) = 3x^2 y + 2xy^4, f_{y}(x,y) = x^3 + 4x^2 y^3$ より

$\displaystyle df(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2y + 2xy^4) dx + (x^3 + 4x^2 y^3) dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2y + 2xy^4, x^3 + 4x^2 y^3)$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2 + (5,5) \cdot (x-1,y-1) = 2 + 5x - 5 + 5y - 5$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 5x + 5y - 8$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,2) = t(5,5,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{5} = \frac{y-1}{5} = \frac{z -2}{-1}$

(c)

$z_{x} = 2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, z_{y} = x^2 e^{2x}$ より

$\displaystyle dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}) dx + x^2 e^{2x}dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, x^2 e^{2x})$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^2 + (2e^2 + 2e^2,e^{2}) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^2 + 4e^2(x-1) + e^2(y-1)$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,e^2) = t(4e^2,e^2,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{4e^2} = \frac{y-1}{e^2} = \frac{z - e^2}{-1}$

(d)

$z_{x} = -y\sin{xy}, z_{y} = -x\sin{xy}$ より

$\displaystyle dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y\sin{xy} dx - x\sin{xy}dy$
$\displaystyle \nabla z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-y\sin{xy}, - x\sin{xy})$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos{1} + (-\sin{1}, -\sin{1})\cdot (x-1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos{1} - (x-1)\sin{1} - (y-1)\sin{1}$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,\cos{1}) = (-\sin{1},-\sin{1},-1)t$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{-\sin{1}} = \frac{y-1}{-\sin{1}} = \frac{z - \cos{1}}{-1}$

(a) $f(x,y) = \sqrt{x}\sqrt[4]{y}$ を考えると $f(121,16) = \sqrt{121}\sqrt[4]{16} = 22$ ．求める値は $f(125,17) = f(121+4,16+1)$ ．ここで， $\Delta x = 4, \Delta y = 1$ とおくと

$\displaystyle f(121+4,16+1)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(121,16) + \Delta f(121,16)$
	$\displaystyle \approx$	$\displaystyle f(121,16) + df(121,16)$

$\displaystyle df$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}dx + \frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{4}}dy$

$\Delta x = dx, \Delta y = dy$ より

$\displaystyle df(121,16) = \frac{4}{11} + \frac{11}{32} \approx 0.7$

したがって， $f(125,17) \approx 22.7$

(b) $f(x,y) = \sin{x}\cos{y}$ を考えると $f(\pi,\frac{\pi}{3}) = \sin{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}} = 0$ ．求める値は $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) = f(\pi - \frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3})$ ．ここで， $\Delta x = -\frac{\pi}{7}, \Delta y = 0$ とおくと

$\displaystyle f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(\pi,\frac{\pi}{3}) + \Delta f(\pi,\frac{\pi}{3})$
	$\displaystyle \approx$	$\displaystyle f(\pi,\frac{\pi}{3}) + df(\pi,\frac{\pi}{3})$

$\displaystyle df$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos{x}\cos{y}dx - \sin{x}\sin{y}dy$

$\Delta x = dx, \Delta y = dy$ より

$\displaystyle df(\pi,\frac{\pi}{3}) = \cos{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}}dx - \sin{\pi}\sin{\frac{\pi}{3}}dy =\frac{\pi}{14} \approx 0.22$

したがって， $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) \approx 0.22$

6.5 解答

1. 方向微分は

$\displaystyle f_{{\hat u}}'(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot {\hat u}$

で与えられる．ここで， ${\hat u}$ は $u$

方向の単位ベクトルを表わす．

(a) 単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (2x+1, 1)$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (1,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$

(b)

単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (-\sin{x}, \cos{y})$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(a) $\frac{2\pi}{3}$ 方向とは， $x$ 軸から $\frac{2\pi}{3}$ の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{x^2y - 2xy^2}{(x-y)^2}, \frac{x^3}{(x-y)^2})$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (-\frac{3}{4},\frac{1}{4})\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{3}}{8}$

(b) $\frac{2\pi}{3}$ 方向とは， $x$ 軸から $\frac{2\pi}{3}$ の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{2x}{x^2 + y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2})$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (1,-1)\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$

(a) 単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\log{y}, \frac{x+1}{y})$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

方向微分が最大になるのは，方向が $\nabla f$ と同じ方向のときなので，

$\displaystyle {\hat u} = (0,1)$

(b) 単位方向ベクトル ${\hat u}$ を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (y^2 e^{xy} + (x-1)y^3 e^{xy}, 2(x-1)ye^{xy} + x(x-1)y^2 e^{xy})$

よって，点

における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,-2)\cdot(\frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{-6}{\sqrt{10}}$

方向微分が最大になるのは，方向が $\nabla f$ と同じ方向のときなので，

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(0,-2)}{\Vert(0,-2)\Vert} = (0,-1)$