6.3 解答

6.3

1.

(a) $D = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1\}$は半径1の円を表わし，中心とその外周を含んでいない．したがって，$D$の中にどんな点をとってもその近傍が$D$に含まれるようにすることができる．よって，$D$は開集合である．

$D$は中心を原点とする半径$R>1$の円に含まれるので有界．

$D$に属するどの2点も，$D$の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

連結な開集合を領域というので$D$は領域．

Dの境界 $${\partial D = \{(x,y) : x^2 + y^2 = 1\}}$$

Dの閉領域 $${ {\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1 \}}$$

(b)

$D = \{(x,y) : xy \leq 0\}$より $\sim D = \{(x,y) : xy > 0\}$．$\sim D$は開集合なので，$D$は閉集合である．

どんな半径$R$を持つ開円板 $\{(x,y) : x^2 + y^2 < R\}$にも集合$D$は含まれないので非有界．

$D$に属するどの2点も，$D$の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

Dの境界 $${\partial D = \{(x,y) : xy = 0\}}$$

Dの閉領域 $${{\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq xy \leq 0 \}}$$

2.

(a) 分子の項の最小次数$= 1 <$ 分母の項の最小次数$=2$．よって分母の方が速く0に近づく．そこで，$y = mx$とおくと

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{mx^2}}{x^2 + m^2 x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{x(1+m^2)} = \infty$$

となり，存在しない．

(b) 分子の項の最小次数$=$ 分母の項の最小次数$=2$より$y = mx$とおくと

$$\lim_{x \to 0}\frac{m x^2}{x^2 + m^2 x^2 + m^4 x^4} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{(1+m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}.$$

これは，$m$の値によって異なるから， $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y^4}$は存在しない．

(c) 分子の項の最小次数$= 2 >$ 分母の項の最小次数$=1$より $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$とおくと

$$\vert\frac{xy}{x^2 + y^2 + y}\vert = \vert\frac{r^2 \cos{\theta}\... ... + r\sin{\theta}}\vert = \vert\frac{1}{1 + \frac{1}{r}\sin{\theta}}\vert \to 0.$$

したがって，はさみ撃ちの定理より $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y} = 0$．

3.

(a)

$$\lim_{(x,y) \to 0}\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$$

が成り立つか調べる．

分子の項の最小次数$= 3 >$ 分母の項の最小次数$=2$．よって分子の方が速く0に近づく．そこで， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$とおくと

$$\vert\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\vert = \vert\frac{r^3 \cos^{2}{\thet... ...= \vert r\cos^{2}{\theta}\sin{\theta}\vert \leq \vert r\vert \to 0 (r \to 0).$$

よって， $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0 = f(0,0)$となり$f(x,y)$は$(0,0)$で連続である．

(b) 分子の項の最小次数$=$ 分母の項の最小次数$=2$より$y = mx$とおくと

$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2 ーm^2 x^2}{x^2 + m^2 x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - m^2}{(1 + m^2)} = \frac{1 - m^2}{1 + m^2}.$$

これは，$m$の値によって異なるから， $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$は存在しない．したがって，$f(x,y)$は$(0,0)$で不連続．

(c) $(x,y)$が$(0,0)$に近づくとき，$xy$が0に近づく速さは， $\log(x^2 + y^2)$が無限大に近づく速さよりも速い．そこで， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$とおくと

$$0 \leq \vert f(x,y)\vert = \vert 2r^2 \cos{\theta}\sin{\theta}\log{r}\vert \leq \vert 2r^2 \log{r}\vert \to 0 (r \to 0).$$

よって， $\lim_{(x,y) \to 0}f(x,y) = 0 \neq f(0,0) = -1$となり$f(x,y)$は$(0,0)$で不連続である．