6.3 解答

6.3

(a) $D = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1\}$ は半径1の円を表わし，中心とその外周を含んでいない．したがって， $D$ の中にどんな点をとってもその近傍が $D$ に含まれるようにすることができる．よって， $D$ は開集合である．

$D$ は中心を原点とする半径 $R>1$ の円に含まれるので有界．

$D$ に属するどの2点も， $D$ の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

連結な開集合を領域というので $D$ は領域．

Dの境界 $\displaystyle{\partial D = \{(x,y) : x^2 + y^2 = 1\}}$

Dの閉領域 $\displaystyle{ {\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1 \}}$

(b)

$D = \{(x,y) : xy \leq 0\}$ より $\sim D = \{(x,y) : xy > 0\}$ ． $\sim D$ は開集合なので， $D$ は閉集合である．

どんな半径 $R$ を持つ開円板 $\{(x,y) : x^2 + y^2 < R\}$ にも集合 $D$ は含まれないので非有界．

$D$ に属するどの2点も， $D$ の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

Dの境界 $\displaystyle{\partial D = \{(x,y) : xy = 0\}}$

Dの閉領域 $\displaystyle{{\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq xy \leq 0 \}}$

(a) 分子の項の最小次数 $= 1 < $ 分母の項の最小次数 $=2$ ．よって分母の方が速く0に近づく．そこで， $y = mx$ とおくと

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{mx^2}}{x^2 + m^2 x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{x(1+m^2)} = \infty$

となり，存在しない．

(b) 分子の項の最小次数 $=$ 分母の項の最小次数 $=2$ より $y = mx$ とおくと

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{m x^2}{x^2 + m^2 x^2 + m^4 x^4} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{(1+m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}.$

これは，

の値によって異なるから， $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y^4}$ は存在しない．

$\displaystyle \vert\frac{xy}{x^2 + y^2 + y}\vert = \vert\frac{r^2 \cos{\theta}\... ... + r\sin{\theta}}\vert = \vert\frac{1}{1 + \frac{1}{r}\sin{\theta}}\vert \to 0.$

したがって，はさみ撃ちの定理より $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y} = 0$ ．

(a)

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0}\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$

が成り立つか調べる．

分子の項の最小次数 $= 3 > $ 分母の項の最小次数 $=2$ ．よって分子の方が速く0に近づく．そこで， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ とおくと

$\displaystyle \vert\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\vert = \vert\frac{r^3 \cos^{2}{\thet... ...= \vert r\cos^{2}{\theta}\sin{\theta}\vert \leq \vert r\vert \to 0 (r \to 0).$