6.4 全微分

1.

(a) $f_{x} = 3x^{2}, f_{y} = 2y$より，

$$\nabla f = (f_{x}, f_{y}) = (3x^{2}, 2y)$$

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy = 3x^{2}dx + 2ydy$$

(b) $f_{x} = 6x-y, f_{y} = -x+1$より，

$$\nabla f = (f_{x}, f_{y}) = (6x-y, -x+1)$$

$$df = f_{x}dx + f_{y}dy = (6x-y)dx - (x-1)dy$$

(c) $z_{x} = 2xy^{-2}, z_{y} = -2x^{2}y^{-3}$より，

$$\nabla z = (z_{x}, z_{y}) = (2xy, x^{2})$$

$$dz = z_{x}dx + z_{y}dy = 2xydx + x^{2}dy$$

(d) $z_{x} = e^{x}\cos{y}, z_{y} = -e^{x}\sin{y}$より，

$$\nabla z = (z_{x}, z_{y}) = (e^{x}\cos{y}, -e^{x}\sin{y})$$

$$dz = z_{x}dx + z_{y}dy = e^{x}\cos{y}dx - e^{x}\sin{y}dy$$

2.

(a) 求める平面上に任意の点$(x,y,z)$と，点$(1,1,1)$より作られるベクトルは $(x-1,y-1,z-1)$で与えられる．このベクトルと法線ベクトル$(3,2,-1)$は直交するので，その内積は零である．これより，

$$(3,2,-1) \cdot (x-1,y-1,z-1) = 0$$

$$3x - 3 + 2y - 2 - z + 1 = 0$$

$$z = 3x + 2y -4$$

法線の方程式は，法線上に任意の点$(x,y,z)$をとると，$(x,y,z)$と$(1,1,1)$が作るベクトルは，法線ベクトルのスカラー倍となることが分かる．したがって，

$$(x-1,y-1,z-1) = (3,2,-1)t$$

$$(x,y,z) = (1,1,1) + (3,2-1)t$$

と表せる．

(b) 接平面を求めるには，平面$\Gamma$上の1点と法線ベクトルがあればよい．そこで，まず法線ベクトル ${\vec n}_{\gamma}$を求める．曲面が $z = f(x,y)$で与えられるとき，法線ベクトルは $f_{x},f_{y},-1)$で求められる．したがって，

$${\vec n}_{\gamma} = (y, x, -1)$$

点$(2,1,1)$は平面$\Gamma$上の点なので，この点を通る法線ベクトルを求めると

$${\vec n}_{\gamma} = (y, x, -1)\mid_{(2,1,1)} = (1,2,-1)$$

ここで，接平面$\Gamma$上に任意の点$(x,y,z)$と点$(2,1,1)$が作るベクトル $(x-2,y-1,z-1)$と法線ベクトルは直交するので，

$$(1,2,-1) \cdot (x-2,y-1,z-1) = 0$$

$$x + 2y - z = 3$$

法線の方程式は，法線上に任意の点$(x,y,z)$をとると，$(x,y,z)$と$(2,1,1)$が作るベクトルは，法線ベクトルのスカラー倍となることが分かる．したがって，

$$(x-2,y-1,z-1) = (1,2,-1)t$$

$$(x,y,z) = (2,1,1) + (1,2-1)t$$

と表せる．

(c) 接平面を求めるには，平面$\Gamma$上の1点と法線ベクトルがあればよい．そこで，まず法線ベクトル ${\vec n}_{\gamma}$を求める．曲面が $z = f(x,y)$で与えられるとき，法線ベクトルは $f_{x},f_{y},-1)$で求められる．したがって，

$${\vec n}_{\gamma} = (2x+y, x + 4y, -1)$$

点$(1,1,4)$は平面$\Gamma$上の点なので，この点を通る法線ベクトルを求めると

$${\vec n}_{\gamma} = (2x+y, x+4y, -1)\mid_{(1,1,4)} = (3,5,-1)$$

ここで，接平面$\Gamma$上に任意の点$(x,y,z)$と点$(1,1,4)$が作るベクトル $(x-1,y-1,z-4)$と法線ベクトルは直交するので，

$$(3,5,-1) \cdot (x-1,y-1,z-4) = 0$$

$$3x + 5y - z = 4$$

法線の方程式は，法線上に任意の点$(x,y,z)$をとると，$(x,y,z)$と$(1,1,4)$が作るベクトルは，法線ベクトルのスカラー倍となることが分かる．したがって，

$$(x-1,y-1,z-4) = (3,5,-1)t$$

$$(x,y,z) = (1,1,4) + (3,5-1)t$$

と表せる．