6.3 関数の極限

1.

(a)

$$\lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x-y+1}{x+y-1} = \frac{1}{1} = 1$$

(b) $${\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x - 3y}{x+y} = \frac{0}{0}}$$の不定形．そこで，分子の最小次数と分母の最小次数を比較すると同じ．この場合，極限値が存在しない可能性が高いので，反例を見つける．$y = mx$とおくと，

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x - 3y}{x+y} = \lim_{x \to 0}\frac{2... ...\left\{\begin{array}{ll} 2, & m = 0\\ -\frac{1}{2}, & m = 1 \end{array}\right.$$

となり，異なる近づき方で異なる値に近づく．したがって，極限値は存在しない．

(c)

$$\lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x+y} = 0$$

2.

(a)

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{xy}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{0}{1} = 0$$

また， $f(0,0) = \frac{0}{1} = 0$より，$(0,0)$で連続．

(b) $${\lim_{(x,y \to (0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \left(\frac{0}{0}\right)}$$の不定形．ここで，分子の最小次数は２で分母の最小次数も２であることから，極限値の存在する可能性は低い．極限値が存在しないことを示すには，反例を挙げればよい．$y = mx$とおくと，

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{x \to 0}\... ... \left\{\begin{array}{ll} 1, & m = 0\\ \frac{1}{2}, & m = 1 \end{array}\right.$$

となり，異なる近づき方で異なる値に近づく．したがって，極限値は存在しない． これより，不連続．

(c) $${\lim_{(x,y \to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} = \left(\frac{0}{0}\right)}$$の不定形．ここで，分子の最小次数は3で分母の最小次数は２であることから，極限値の存在する可能性は高い．そこで， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$とおくと，

$$0 \leq \left\vert\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}}\right\vert = \left\... ...ight\vert \leq \left\vert\frac{r\cos^{2}{\theta}}{\sin{\theta}}\right\vert \to$$

したがって，どのように$(x,y)$が$(0,0)$に近づいても同じ値に近づくので， $${\lim_{(x,y \to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} = 0}$$ また， $f(0,0) = 0$より，$(0,0)$で連続．