gradientと方向微分(grad and directional derivatives)

確認問題

1.

次の関数を $(1,2)$ で $(1, -1)$ の方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = x^2 + y^{2}}$$ (b) $${f(x,y) = xe^{y} - ye^{x}}$$

2.

次の関数を $(1,0)$ で $${\frac{\pi}{3}}$$方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = \frac{2x}{(x - y)}}$$ (b) $${f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$$

3.

次の関数を $(0,1)$ で $(-1,3)$方向に微分しよう．また方向微分が最大になるような方向単位ベクトルを求めよう．

(a) $${f(x,y) = (x+1)\log{y}}$$ (b) $${f(x,y) = (x-1)y^{2}e^{xy}}$$

演習問題

1.

次の関数を $(0,0)$ で $(1, \sqrt{3})$ の方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = x^2 + x + y}$$ (b) $${f(x,y) = \cos{x} + \sin{y}}$$

2.

次の関数を $(1, -1)$ で $${\frac{2 \pi}{3}}$$方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = \frac{x^2 y}{x - y}}$$ (b) $${f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$$

3.

ある金属板の各点における温度は次の式で与えられる．

$$T(x,y) = e^{x}\cos{y} + e^{y}\cos{x}$$

(a) 点$(0,0)$からどの方向に進むと，温度上昇が最も大きいか．また，そのときの温度の変化率を調べよう．

(b) 点$(0,0)$からどの方向に進むと，温度下降が最も大きいか．また，そのときの温度の変化率を調べよう．