gradientと方向微分(grad and directional derivatives)

確認問題

1.
次の関数を $(1,2)$$(1, -1)$ の方向に微分しよう.

(a) $\displaystyle{f(x,y) = x^2 + y^{2}}$ (b) $\displaystyle{f(x,y) = xe^{y} - ye^{x}}$

2.
次の関数を $(1,0)$ $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$方向に微分しよう.

(a) $\displaystyle{f(x,y) = \frac{2x}{(x - y)}}$ (b) $\displaystyle{f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$

3.
次の関数を $(0,1)$$(-1,3)$方向に微分しよう.また方向微分が最大になるような方向単位ベクトルを求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x,y) = (x+1)\log{y}}$ (b) $\displaystyle{f(x,y) = (x-1)y^{2}e^{xy}}$

演習問題

1.
次の関数を $(0,0)$ $(1, \sqrt{3})$ の方向に微分しよう.

(a) $\displaystyle{f(x,y) = x^2 + x + y}$ (b) $\displaystyle{f(x,y) = \cos{x} + \sin{y}}$

2.
次の関数を $(1, -1)$ $\displaystyle{\frac{2 \pi}{3}}$方向に微分しよう.

(a) $\displaystyle{f(x,y) = \frac{x^2 y}{x - y}}$ (b) $\displaystyle{f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$

3.
ある金属板の各点における温度は次の式で与えられる.

$\displaystyle T(x,y) = e^{x}\cos{y} + e^{y}\cos{x}$

(a)$(0,0)$からどの方向に進むと,温度上昇が最も大きいか.また,そのときの温度の変化率を調べよう.

(b)$(0,0)$からどの方向に進むと,温度下降が最も大きいか.また,そのときの温度の変化率を調べよう.