関数の極限(limit of function)

確認問題

1.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{(x,y) \to (1,1)}\frac{x - y + 1}{x + y - 1}}$$ (b) $${\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x - 3y}{x + y}}$$ (c) $${\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}}$$

2.

次の関数の $(0,0)$ における連続性を調べよう．

(a) $${f(x,y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2} + 1}}$$ (b) $${ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$

(c) $${ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2y}{x^4+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$

演習問題

1.

次の集合は開集合，閉集合，有界な集合，連結な集合，または，領域か調べ，境界と閉包を求めよう．

(a) $${D = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1 \}}$$ (b) $${D = \{(x,y) : x y \leq 0 \}}$$

2.

$(x,y) \rightarrow (0,0)$ のとき，次の関数の極限値を求めよう．

(a) $${\frac{\sqrt{xy}}{x^2 + y^2}}$$ (b) $${\frac{xy}{x^2 + y^2 + y^4} }$$ (c) $${\frac{xy}{x^2 + y^2 + y}}$$

3.

次の関数の $(0,0)$ における連続性を調べよう．

(a) $${f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$

(b) $${ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$

(c) $${ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} xy \log(x^2 + y^2), & (x,y) \neq (0,0)\\ -1, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$