偏微分(partial derivatives)

確認問題

1.

次の関数の偏導関数を求めよう.

(a) $${f(x,y) = 3x^{2} - xy + y}$$ (b) $${f(x,y) = x^{2}e^{-y}}$$ (c) $${z = \sqrt{(x^2 + y^2)}}$$

(d) $${z = x\sin{y}}$$ (e) $${z = \frac{x-y}{x+y}}$$

2.

次の関数の第2次までの偏導関数をすべて求めよう．

(a) $${f(x,y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2}}$$ (b) $${f(x,y,z) = (x+y^{2}+z^{3})^{2}}$$

(c) $${f(x,y) = \sin(3x - 2y)}$$ (d) $${f(x,y) = xe^{2y}}$$

演習問題

1.

次の関数を偏微分しよう.

(a) $${z = x^3 + xy^2 + y^3}$$ (b) $${z = e^{x} \sin{y}}$$ (c) $${z = \log{(x^2 + y^2)}}$$

2.

次の関数の第2次までの偏導関数をすべて求めよう．

(a) $${z = x^3 y + x y^2}$$ (b) $${z = x y^2 e^{\frac{x}{y}}}$$

(c) $${z = \tan^{-1}{(x^2 + y^2)}}$$

3.

次の関数は原点で偏微分可能か調べよう．

(a) $${f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{y^3 - x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$ (b) $f(x,y) = \log{(1 + xy + y^2)}$