曲線(space curves)

確認問題

1.

次の条件を満たす直線のベクトル方程式を求めよ．

(a) 点$(1,-1,2)$を通りベクトル$(2,-3,1)$に平行．

(b) 点$(3,1,0)$を通り線分 ${\bf r}(t) = (3t, -t, t)$に平行．

(c) 点$(1,0,3)$と$(2,-1,4)$を通る．

2.

次の曲線の接線ベクトルと与えられた点を通る接線の方程式を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (1,t,t^{2})}, t = 1$$ (b) $${{\bf r}(t) = (2t^{2}, 1-t, 3+2t^{2})}, t = 1$$

3.

次の曲線の弧長を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (\cos{t}, \sin{t}, t) \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}}$$

(b) $${{\bf r}(t) = (t^{3}, t^{2}) \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq 1}$$

4.

次の曲線の曲率を求めよう．

(a) $${y = x^{3}}$$ (b) $${y = x - x^{2}}$$ (c) $${y = \tan{x}}$$

演習問題

1.

次の曲線の接線ベクトルと与えられた点を通る接線の方程式を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (e^{t}, e^{-t}, -\log{t}) t = 1}$$ (b) $${{\bf r}(t) = (\cos{\pi t}, \sin{\pi t}, t) t = 2}$$

2.

次のパラメター化された曲線を $x，y，z$ の方程式で表わそう．

(a) $${{\bf r}(t) = (at, bt^{2})}$$ (b) $${{\bf r}(t) = (t^{3}, t^{2})}$$ (c) $${{\bf r}(t) = (\cos{2t},\sin{2t},t)}$$

3.

次の曲線の弧長を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (t, \log{(\sec{t})}, 3) \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}}$$

(b) $${{\bf r}(t) = e^{t}(\cos{t}, \sin{t}) \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \pi}$$

(c) $${x^{2/3} + y^{2/3} = 1 \mbox{ただし}， y \geq 0}$$

4.

次の曲線の曲率を求めよう．

(a) $${y = e^{-x}}$$ (b) $${y = \log{(\sec{x})}}$$ (c) $${{\bf r}(t) = (3\cos{t},3\sin{t})}$$