5.2 曲線

1.

(a) ベクトル$(2,-3,1)$に平行より，求める直線の方向ベクトルは$(2,-3,1)$．この直線は点$(1,-1,2)$を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$$(x,y,z) = (1,-1,2) + (2,-3,1)t$$

(b) 線分$(3t,-t,t)$に平行より，求める直線の方向ベクトルは$(3,-1,1)$．この直線は点$(3,1,0)$を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$$(x,y,z) = (3,1,0) + (3,-1,1)t$$

(c) 2点$(1,0,3)$と$(2,-1,4)$を通るので，求める直線の方向ベクトルは $(2-1,-1-0,4-3) = (1,-1,1)$．この直線は点$(1,0,3)$を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$$(x,y,z) = (1,0,3) + (1,-1,1)t$$

2.

(a) $\vec{r}(t) = (1,t,t^2)$より$t = 1$での接線ベクトルは

$$\vec{r}'(1) = (0,1,2t)\mid_{t=1} = (0,1,2)$$

また， $\vec{r}(1) = (1,1,1)$より，接線の方程式は

$$\vec{r}(t) = \vec{r}(1) + t\vec{r}'(1) = (1,1,1) + t(0,1,2)$$

(b) $\vec{r}(t) = (2t^2, 1-t, 3+2t^2)$より$t = 1$での接線ベクトルは

$$\vec{r}'(1) = (4t,-1,4t)\mid_{t=1} = (4,-1,4)$$

また， $\vec{r}(1) = (2,0,2)$より，接線の方程式は

$$\vec{r}(t) = \vec{r}(1) + t\vec{r}'(1) = (2,0,2) + t(4,-1,4)$$

3.

(a)

$$\Vert\vec{v}{t}\Vert = \Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(-\sin{t},\cos{t},1)\Vert = \sqrt{\sin^2{t} + \cos^2{t} + 1} = \sqrt{2}$$

より

$$s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}\;dt$$

$$= \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4}$$

(b)

$$\Vert\vec{v}{t}\Vert = \Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(3t^2, 2t)\Vert = \sqrt{9t^4 + 4t^2}$$

より

$$s = \int_{0}^{1}\sqrt{9t^4 + 4t^2}\;dt$$

$$= \int_{0}^{1}\sqrt{9t^2 + 4}\; t\;dt \left(\begin{array}{l} u... ...& 1\ \hline u & 4 & \to & 13 \end{array}\\ \end{array}\right)$$

$$= \int_{4}^{13}\sqrt{u}\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3}[u^{3/2}]_{4}^{13}$$

$$= \frac{1}{27}(13^{3/2} - 8)$$

4.

曲率$\kappa$は曲線の曲がり具合を表したものである．曲線の曲がり具合は曲線の接線が$x$軸と作る角$\phi$が曲線上を$s$だけ動くときにどれだけ変化するかを調べることにより分かる． これより，

$$\kappa = \vert\frac{d\phi}{ds}\vert = \left\vert\frac{y''}{(1 + (y')^2)^{\frac{3}{2}}}\right\vert$$

で与えられる．

(a) $y = x^3$より， $y' = 3x^2, y'' = 6x$．したがって，

$$\kappa = \left\vert\frac{6x}{(1 + 9x^4)^{\frac{3}{2}}}\right\vert$$

(b) $y = x - x^2$より， $y' = 1 -2x, y'' = -2$．したがって，

$$\kappa = \left\vert\frac{-2}{(1 + (1-2x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right\vert = \frac{2}{(2 - 4x + 4x^2)^{\frac{3}{2}}}$$

(c) $y = \tan{x}$より， $y' = \sec^{2}{x}, y'' = 2\sec^{2}{x}\tan{x}$．したがって，

$$\kappa = \left\vert\frac{2\sec^{2}{x}\tan{x}}{(1 + \sec^{4}{x})^{\frac{3}{2}}}\right\vert$$