5.2 曲線

(a) ベクトル

に平行より，求める直線の方向ベクトルは $(2,-3,1)$

．この直線は点

を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$\displaystyle (x,y,z) = (1,-1,2) + (2,-3,1)t$

(b) 線分

に平行より，求める直線の方向ベクトルは $(3,-1,1)$

．この直線は点

を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$\displaystyle (x,y,z) = (3,1,0) + (3,-1,1)t$

と

を通るので，求める直線の方向ベクトルは $(2-1,-1-0,4-3) = (1,-1,1)$

．この直線は点

を通るので，求める直線のベクトル方程式は

$\displaystyle (x,y,z) = (1,0,3) + (1,-1,1)t$

$\displaystyle \vec{r}'(1) = (0,1,2t)\mid_{t=1} = (0,1,2)$

$\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}(1) + t\vec{r}'(1) = (1,1,1) + t(0,1,2)$

$\displaystyle \vec{r}'(1) = (4t,-1,4t)\mid_{t=1} = (4,-1,4)$

$\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}(1) + t\vec{r}'(1) = (2,0,2) + t(4,-1,4)$

$\displaystyle \Vert\vec{v}{t}\Vert = \Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(-\sin{t},\cos{t},1)\Vert = \sqrt{\sin^2{t} + \cos^2{t} + 1} = \sqrt{2}$

$\displaystyle s$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}\;dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4}$

$\displaystyle \Vert\vec{v}{t}\Vert = \Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(3t^2, 2t)\Vert = \sqrt{9t^4 + 4t^2}$

$\displaystyle s$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{9t^4 + 4t^2}\;dt$
	$\displaystyle =$	$\begin{displaymath}\int_{0}^{1}\sqrt{9t^2 + 4}\; t\;dt \left(\begin{array}{l} u... ...& 1\ \hline u & 4 & \to & 13 \end{array}\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{4}^{13}\sqrt{u}\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3}[u^{3/2}]_{4}^{13}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{27}(13^{3/2} - 8)$